La resolución de $\tan x-\tan(2x)=2\sqrt{3}$

Question

$$\tan x-\tan(2x)=2\sqrt{3}$$

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INTENTE #1

$$\begin{align*} \tan x-\tan(2x)=2\sqrt{3}&\implies\tan x=2\sqrt{3}+\tan{2x}\\ &\implies \tan^2x=\tan^2(2 x)+4 \sqrt{3} \tan(2 x)+12\\ &\implies\tan^2x=(\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x})^2+4\sqrt{3}\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}+12 \end{align*}$$

pero esto me dará una ecuación con $\tan^4$ que necesita el cuarto grado de la fórmula, muy difícil!!

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INTENTE #2

$$\begin{align*} \tan x-\tan(2x)=2\sqrt{3} &\implies \frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=2\sqrt3 \\ &\implies\frac{\sin x\cos 2x-\sin 2x\cos x}{\cos x\cos 2x}=2\sqrt{3}\\ &\implies\frac{-\sin x}{\cos x\cos 2x}=2\sqrt{3}\\ &\implies\frac{-\sin x-2\sqrt{3}\cos x\cos 2x}{1}=0 \end{align*} $$ a continuación, ¡no puedo!!

alguien me puede ayudar?

Answer 1

¿

$$\tan x-\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}=2\sqrt 3$$

Extracción de la fracción le dará una ecuación cúbica. Al menos eso es más fácil que la cuártica!

Answer 2

deje $u = \tan x, \tan 2x = \dfrac{2u}{1-u^2}$ su ecuación se convierte en $$u - \dfrac{2u}{1-u^2} = 2\sqrt 3 $$ which can be simplified $$f(u) = u^3 - 2\sqrt 3 u^2 + u + 2\sqrt 3 = 0 $$ i don't see any simple roots for this. we know that $f(0) = 2\sqrt 3$ and $f(-1) = -2$ so there is at least one $-1 < u < 0, f(u) = 0$

edit: gracias al usuario winther, podemos factor.

$$u^3 - 2\sqrt 3 u^2 + u + 2\sqrt 3 = (u-\sqrt 3)(u^2 -\sqrt 3 u -2) $$