D^n cociente por su límite

Question

Definir $D^n = \{ x \in \mathbb{R}^n : |x| \leq 1 \}$. Mediante la identificación de todos los puntos de $S^{n-1}$ obtenemos un espacio topológico que es intuitivamente homeomórficos a $S^n$. Si n = 2, esto puede ser visualizado presionando el centro del disco $D^2$ hacia abajo de modo que usted tiene un saco, luego de la reducción de los boundry de la bolsa a un punto que le da una lágrima en forma de objeto, la cual es claramente homeomórficos a $S^2$.

Soy nuevo en topología algebraica. Cómo puedo demostrar que el cociente del espacio es en realidad homeomórficos a $S^n$. No he sido capaz de escribir de forma explícita un mapa continuo entre el $D^n$ $S^n$ que se asigna a $S^{n-1}$ a un punto en $S^n$, que en el momento es la única manera que sé cómo empezar showin que dos espacios son homeomórficos. Es más de la maquinaria necesaria? Si es así estoy interesado en escuchar lo que se necesita. Si no, por favor, dime qué estúpido soy y me da una sugerencia!

Answer 1

Ninguno de la respuesta a dar cualquier mapa explícitamente así que voy a escribir aquí. Tenga en cuenta que $S^{n−1}\times I→D^n,(u,t)\mapsto tu$ (este es el producto escalar) es un cociente de mapa y por lo tanto se puede definir (después de verificar algunas cosas) el mapa continuo $D^n\to S^n,tu\mapsto (\sin⁡(tπ)u,\cos⁡(tπ))$ que puede ser verificada a trabajar.

Answer 2

Sí, usted solo necesita encontrar un mapa adecuado entre el$D^n$$S^n$, y para hacer eso, su visualización debe ayudar mucho. Para este tipo de problema, para conseguir una visualización es en la mayor parte de la obra, y lo hizo ya. El resto es sólo describir lo que se ve.

Vamos a recoger $n=2$. Dijo que si usted empuja "hacia abajo" en el centro de la $D^2$ y "cerrar" el saco, obtendría $S^2$. Esto debe decirle a usted que usted está buscando en un mapa de $f : D^2 \rightarrow S^2$ de manera tal que el$f(0,0) = (0,0,-1)$$f(x,y) = (0,0,+1)$$(x,y) \in S^1$. Entonces usted tiene que elegir un camino a elegir, por ejemplo, el $z$ de coordenadas para los puntos intermedios en forma continua. Cualquier función continua que debe trabajar.

¿Visualizar el saco con una forma redonda todo el tiempo ? Lo que debería ser la inversa de la imagen de la línea del ecuador ? Un círculo de centro $(0,0)$$D^1$ ? A continuación, el mapa debe ser rotationnaly invariante en torno a $(0,0)$ y usted puede arreglar para la búsqueda de $f$ sólo en un diámetro de $D^2$. ¿Cuál es la imagen de un diámetro en su visualización ? Un círculo de $S^2$ ? Por lo $f(x,y)$ debe $(kx,ky,z)$ para algunas funciones $z$$k$ ? etc.

Answer 3

Desde $(D^n\setminus S^{n-1}) \cong \mathbb{R}^n \cong (S^n-\{p\})$, tenemos un homeomorphism $k:D^n\setminus S^{n-1} \rightarrow S^n-\{p\}$. Entonces podemos definir el $f(x)=k(x)$$x \in D^n\setminus S^{n-1}$$f(x)=p$$x \in S^{n-1}$.

La continuidad de $f$ puede ser muestra de la siguiente manera. Deje $U$ ser un subconjunto de a $S^n$ contiene $p$. A continuación,$U \cong \mathbb{R}^n \cong (D^n\setminus S^{n-1})$. Simultáneamente la eliminación de un subconjunto cerrado de cada uno de los espacios de los rendimientos de $U\setminus\{p\} \cong \mathbb{R}^n\setminus D^n \cong (D^n\setminus S^{n-1})\setminus C$ donde $C\subset D^n\setminus S^{n-1}$ es cerrado. Así que podemos decir $f^{-1}(U\setminus \{ p \} ) = (D^n\setminus S^{n-1})\setminus C$, ya que en el dominio $U\setminus \{ p \}$, $f$ es un homeomorphism. Tomando nota de que cualquier barrio de $S^{n-1}$ debe ser de la forma $D^n\setminus C$, es fácil ver que $f^{-1}(U)$ es de la forma y abierto. A continuación, $f$ es el mapa deseado.

Answer 4

Así, en el caso de $D^1 = [0, 1]$ $S^1 = $ unidad círculo alrededor de $0$, se puede escribir un mapa continuo?

Answer 5

Usted sabe que $S^n$ es un punto de compactification de $R^n$. Que es $S^n = R^n \cup \{\infty\}$ con topología adecuada. Ahora definir un mapa de $f\colon D^n \to S^n$ como sigue si $x$ es en el interior de la $D^n$ $f(x) = \frac{x}{1 -\mod{x}}$ pero si $x$ está en el límite, a continuación,$f(x) = \infty$. Ahora es fácil ver que $f$ es continuas en el interior y así como en la frontera. Secuencial criterio puede ayudar a usted a la conclusión de la instrucción. Ahora $D^n$ es compacto, por lo que el mapa es un mapa closed y, por tanto, un cociente de mapa. De ahí se induce una homeomorphism de$D^n$$S^n$.