Cuando se hace una Incrustación de extender en un Homeomorphism?

Question

Esto es de un post en el sci.de matemáticas que no se obtiene una respuesta completa; me puede volver a publicar para el OP no:

Estoy interesado en el tema que he leído en otro sitio de cuando una incrustación de un conjunto cerrado se extiende en una homeomorphism, es decir, si $C$ es cerrado en $X$, e $f:C \rightarrow Y$ es una incrustación, cuando podemos extender $f$$F$, de modo que $F:X \rightarrow Y$ es un homeomorphism, y $F|_C=f$ (es decir, $f=F$$C$ )? Por supuesto que hay casos triviales como al $f$ es la identidad en $C$:

Yo sé, por ejemplo, la Extensión de Tietze, y creo que hay resultados acerca de la extensión de los mapas de un espacio en su compactification; creo que el mapa debe ser regular (inverso imagen de un conjunto compacto es compacto). Pero yo no conozco a ningún resultado general.

Voy a aprender de Látex tan pronto como puedo, mis disculpas por el uso de ASCII

Answer 1

Esto nunca va a suceder a menos que $C=X$. Considerar la identidad de la incrustación de $C \to C$; por su hipótesis, esto se extiende a un homeomorphism $X \to C$ extender $C \to C$. Esta es una inversa a la inclusión $C \to X$. Por lo tanto $C=X$.

En general, esto es poco probable. Considere la posibilidad de cualquier $Y$$X$$C$. A continuación, hay una incrustación $C \to Y$ que por su condición se extiende a un homeomorphism $X \simeq Y$. Por lo $X$ es homeomórficos a todos sus subespacios cerrados que contengan $C$ (con un homeomorphism que se extiende $1: C \to C$). Generalmente, esto no va a suceder en ejemplos naturales (aunque si $X$ es un [Toronto espacio], [1] y $C$ tiene la misma cardinalidad como $X$): por ejemplo, significa que el $X/C$ es homeomórficos a cualquiera de sus subespacios cerrados.

Answer 2

gary, creo que tu pregunta es demasiado general. Por ejemplo, hay algo que se llama 'cofibration' en la topología, que se ocupa de este tipo de problema en el marco de una fuerte condición: a Saber, $f:A\rightarrow Y$ es continua y tiene una extensión iff cada $g\colon A\rightarrow Y$ satisface esta propiedad donde se $g$ es homotópica a f.

Si un espacio de $(X,A)$ ha homotopy extensión de la propiedad con respecto a la $Y$, entonces es más fácil comprobar si un mapa de $f\colon A\rightarrow X$ tiene una extensión, ya que , ahora, hay miles de millones de mapas que debe tener simultáneamente extensiones. Sin embargo, incluso bajo esta condición, no existe ningún teorema que yo sepa.