Es $[\bar{\mathbb Q}:\bar{\mathbb Q}\cap\mathbb R]=2$?

Question

Es $[\bar{\mathbb Q}:\bar{\mathbb Q}\cap\mathbb R]=2$ ?

Creo que es cierto que $\bar{\mathbb Q}\cap\mathbb C=\bar{\mathbb Q}$, porque he escuchado que el cierre de los reales es $\mathbb C$. Y $\bar{\mathbb Q}$ es un subcampo de la $\mathbb C$, por lo que el uso de este hecho, tenemos $\bar{\mathbb Q}\cap\mathbb R$, la intersección de a $2$ campos, de nuevo un campo.

pero el índice necesariamente tiene que ser un número entero como en la teoría de grupos ?

Answer 1

Por definición, el índice es la dimensión de $\bar{\mathbb Q}$ como un espacio vectorial sobre $\bar{\mathbb Q}\cap \mathbb R$, por lo que siempre es un número entero (si es finito).

Si dejamos $F=\bar{\mathbb Q}\cap \mathbb R$, no es difícil probar que todo elemento de a $\bar{\mathbb Q}$ puede ser escrito $a+bi$$a,b\in F$, por lo que la dimensión (y por lo tanto el índice es 2.

Answer 2

El real algebraica de los números de forma un campo, sí. De manera más general, la intersección de dos subcampos de un campo es de nuevo un campo.

Un número es algebraico si y sólo si su real y la parte imaginaria son algebraicas. Por lo tanto uno puede escribir cada número algebraico $a$ $r_1 + i r_2$ $r_1,r_2$ real de los números algebraicos.

El grado es lo $2$ como se sospecha.

El grado de la extensión de campo es la dimensión de los grandes en el campo como un espacio vectorial sobre el pequeño. Por lo tanto es un número entero positivo o un infinito cardenal, como el índice de un subgrupo.

Answer 3

Sí, $[\overline{\mathbb Q}:\overline{\mathbb Q}\cap \mathbb R]=2$, ya que alcanzar la ex de el último colindando $i$.

El índice es siempre un número entero positivo o infinito, ya que representa la cardinalidad de una base de un espacio vectorial.