Números transcendentales en$\mathbb{Q}_p$

Question

Estoy tratando de demostrar que $K((x))/K(x)$ no es una extensión algebraica, donde $K$ es un campo de caracteres $p>0$, e $K((x))$ es el campo de fracciones de $K[[x]]:=\{\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\mid a_i\in K\}$.

Para hacerlo más concreto, estoy pensando en el caso de $K=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$x=p$, por lo que necesitamos encontrar $\tau\in\mathbb{Q}_p$ trascendental en cuanto a la extensión de campo $\mathbb{Q}_p|\mathbb{Q}$.

Pensé $\tau:=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{p^n}{n!}$, lo que he comprobado converge en el $p$-ádico métrica, pero no estoy seguro de que es trascendental o no. Es muy tentador decir que $e^p=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{p^n}{n!}$, y desde $e$ es trascendental, ya hemos terminado, pero sé que esto probablemente no tiene ningún sentido formal. ¿Cómo puedo resolver esto?

Answer 1

Mi única sugerencia sería intentar imitar la prueba ordinaria del teorema de Liouville, que puede usarse para mostrar que$\sum_n10^{n!}$ es trascendental sobre$\Bbb Q$. Esto significaría mostrar que$\sum_n t^{n!}$ es trascendental sobre$\kappa(t)$, para (digamos)$\kappa$ un campo finito.

Answer 2

Tal vez mostrando que un determinado elemento es trascendental no es fácil. Creo que sobre el mismo o más trabajo es necesario demostrar que $e^p\in\mathbb{R}$ es trascendental.

Una manera de conseguirlo es utilizar la cardinalidad de comparación. De esta manera no es constructivo, pero podemos demostrar que no es $\tau\in\mathbb{Q}_p$ que es trascendental $\mathbb{Q}$.

Desde $\mathbb{Q}$ es contable, el conjunto algebraico de los elementos dentro de $\mathbb{Q}_p$ $\mathbb{Q}$ es contable. Sin embargo, el conjunto $\mathbb{Q}_p$ es incontable. Por lo tanto, debe ser un elemento trascendental $\tau\in\mathbb{Q}_p$.

Este argumento es posible para cualquier countably infinito campo de $K$. Set-teóricamente indica, la clausura algebraica $\overline{K}$ $K$ satisface $$ |\overline{K}|=|K| = \aleph_0 < 2^{\aleph_0} = |K^{\mathbb{N}}|=|K((x))|. $$