¿Cuál es la forma más fácil de evaluar $\int \limits_{0}^{\pi/2} (\sqrt{\tan x} +\sqrt{\cot x})$ ?

Question

¿Cuál es la forma más fácil de evaluar $\int \limits_{0}^{\pi/2} (\sqrt{\tan x} +\sqrt{\cot x})$ ?

He reducido este problema a $$ 2\int_0^{\pi/2} \sqrt{\tan x} \ dx$$

pero ahora, la evaluación de esta integral me está dando algunos problemas, simplemente sustituyendo $u=\tan(x)$ y luego $\mathrm{d}u=\sec^2(x)\mathrm{d}x \Rightarrow \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=\mathrm{d}x$ y que a su vez da algo un poco feo, me preguntaba ¿cuál es la forma más elegante de evaluar esto?

Answer 1

$${\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan x}dx + \sqrt{\cot x}dx}$$ $$={\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\frac{\sqrt{2\sin{x}\cos{x}}}{\sqrt{2}}}dx = \sqrt{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin{x} + \cos{x}}{\sqrt{1 - (1 - 2 \sin{x} \cos{x})}}dx}$$ $${=\sqrt{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin{x} + \cos{x}}{\sqrt{1 - (\sin{x} - \cos{x})^2}}dx}$$

Dejemos que ${t = \sin{x} - \cos{x}}$ , $\Large {{\small{dx}} = \frac{dt}{\sin{x} + \cos{x}}}$ $${x \to \frac{\pi}{2} \implies t = (\sin{x} - \cos{x}) \to 1}$$ $${x \to 0 \implies t = (\sin{x} - \cos{x}) \to -1}$$

$$\sqrt{2}\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}dt = \sqrt{2}\left[\sin^{-1}{t}\right]_{-1}^{1} = \sqrt{2}\left[\frac{\pi}{2} - \left(- \frac{\pi}{2} \right) \right] = \sqrt{2} \pi $$

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Creo que este podría ser el enfoque más sencillo.

Answer 2

Yo diría que la forma más fácil es utilizar la función Gamma. Observe que al hacer el cambio $x=\sin^2(u)$ conseguimos que $$\int_0^1 x^{-\frac{1}{4}}(1-x)^{-\frac{3}{4}}dx=2\int_0^{\pi/2}\sqrt{\tan(x)}dx$$ Entonces esto es $$B\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)=\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\sqrt{2}\pi.$$

Answer 3

Dejemos que $u=\sqrt{\tan(x)}$ . Entonces $u^2 = \tan(x)$ y $2 u \mathrm{d} u = (1+ \tan^2(x)) \mathrm{d} x$ . Así, $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan(x)} \mathrm{d} x = \int_0^\infty \frac{2u^2}{1+u^4} \mathrm{d} u $$ Desde $1+u^4 = (1 + \sqrt{2} u + u^2)( 1- \sqrt{2} u + u^2)$ se aplica la descomposición parcial de la fracción: $$ \frac{2u^2}{1+u^4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{u}{u^2-\sqrt{2} u+1}-\frac{u}{u^2+\sqrt{2} u+1} \right) $$ Por lo tanto, $$ \begin{eqnarray} \int \frac{2u^2}{1+u^4} \mathrm{d} u &=& \frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left(\frac{u^2-\sqrt{2} u+1}{u^2+\sqrt{2} u+1}\right) + \\ &\phantom{=}& \frac{\tan ^{-1}\left(\sqrt{2} u+1\right) -\tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} u\right) }{\sqrt{2}} \end{eqnarray} $$ Aplicar el teorema fundamental del cálculo: $$ \int_0^{\pi/2} \sqrt{\tan(x)} \mathrm{d} x = \frac{\pi}{\sqrt{2}} $$

Answer 4

Sugerencia: subtitular $u=\sin^2 x$ obtendrás la función beta, también necesitarás algunas propiedades básicas de las funciones beta y gamma

Answer 5

Emplearemos la sustitución $u=\sqrt{\tan x}$ : $$u'= \frac{1+\tan^2 x}{2 \sqrt{\tan x}}$$ y $$2\int_0^{\pi/2} \sqrt{\tan x}\,dx = 4 \int_0^\infty \frac{u^2}{1+u^4} du= 2 \int_{-\infty}^\infty \frac{u^2}{1+u^4} du.$$ La última integral tiene dos polos ( $u_1 = e^{i\pi/4}$ , $u_2=e^{i3\pi/4}$ ) en el semiplano complejo superior. Los residuos correspondientes son $$\text{Res}_{u=u_1} \frac{u^2}{1+u^4} = -\frac{u_2}{4} \qquad\qquad \text{Res}_{u=u_1} \frac{u^2}{1+u^4} = -\frac{u_1}{4}. $$

Así, el valor de la integral es $$2\int_0^{\pi/2} \sqrt{\tan x}\,dx =- \pi i (u_1+u_2)=\sqrt{2}\pi$$