Usando la función W de Lambert para resolver esta ecuación

Question

Estoy intentando resolver la siguiente ecuación (eventualmente con la función W de Lambert habiendo comprobado la solución en Wolfram Alpha):

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Conseguí tan lejos como sigue pero soy inseguro cómo progresar:

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Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

Para usar Lambert W puede proceder de esta manera: \begin{align} 100\,n^2 &= 2^n\\ (10\,n)^2 &= e^{n\log 2}\\ 10\,n &= \pm e^{n\log 2/2}\\ \left(-\,n \log 2/2\right) e^{-n\log 2/2}&= \mp (\log 2)/{20}\\ -\,n \log 2/2&=W\left(\mp (\log 2)/20\right)\\ \end {align} El argumento negativo (ver wikipedia ) estará entre$-\dfrac 1e$ y$0$ y le devolverá dos soluciones:

1. $-\frac{2}{\log 2}W_{-1}\left(-\frac{\log 2}{20}\right)\approx 14.324727837\quad$ Y
2. $-\frac{2}{\log 2}W\left(-\frac{\log 2}{20}\right)\approx 0.1036578164$
   Mientras que el argumento positivo volverá simplemente
3. $-\frac{2}{\log 2}W\left(\frac{\log 2}{20}\right)\approx -0.0967040343267$

Answer 2

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Aumentar a la potencia de$$2^n=100n^2$:

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Ahora debemos considerar el signo$$2^n n^{-2}=100$ y las diferentes ramas de W para obtener las respuestas en la respuesta del Dr. Sonnhard Graubner.

Answer 3

Obtenemos $ n_1 = -2 \, {\ frac {{\ rm W} \ left (-1/20 \, \ ln \ left (2 \ right) \ derecho)} {\ ln \ left (2 \ right )}} $ $$ n_2 = -2 \, {\ frac {{\ rm W} \ left (-1, -1 / 20 \, \ ln \ left (2 \ right) \ right)} {\ ln \ Left (2 \ right)}} $$ $$ n_3 = -2 \, {\ frac {{\ rm W} \ left (1/20 \, \ ln \ left (2 \ right) \ Ln \ left (2 \ right)}} $$