Sólidos platónicos

Question

Es un teorema que sólo existen cinco sólidos platónicos (hasta la similitud). Estaba buscando algunas pruebas de esto, pero no pude. Quiero ver alguna prueba de esto, especialmente uno que utiliza principalmente la teoría de grupos.

Aquí está la definición del sólido platónico Solidos platónicos

Answer 1

De Polytopes Regular por Coxeter, deje que un grafo esférico tenga$N_0$ vértices,$N_1$ edges y$N_2$ faces. La fórmula de Euler dice que$$ N_0 - N_1 + N_2 = 2. \; \; \; \; \; (1.61) $ $ Ahora, supongamos que nuestro gráfico es regular, cada cara tiene$p$ sides, cada vértice tiene$q$ faces circundantes. Entonces ambos$p,q \geq 3.$ Next,$$ q N_0 = 2 N_1 = p N_2 . \; \; \; \; \; (1.71) $ $ Ponlos juntos,$$ \frac{1}{N_1} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} - \frac{1}{2}. \; \; \; \; \; (1.72) $ $ As$N_1$ es positivo y$p,q \geq 3,$ las soluciones posibles a$$ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2} $ $ Son
Tenga en cuenta que el gráfico esférico dual a$$ \{p,q\} =\{3,3\}, \; \; \{3,4\}, \; \; \{4,3\}, \; \; \{3,5\}, \; \; \{5,3\}. $ es$\{p,q\}$ mientras que el tetraedro$\{q,p\},$ es auto-dual.

Answer 2

La prueba que sé no utiliza la teoría de grupos. En cada vértice, debe haber el mismo número$\ge 3$ de la misma reunión de polígono regular, y los ángulos deben agregar menos de$180^{\circ}$. Las únicas posibilidades son tres, cuatro o cinco triángulos, tres cuadrados o tres pentágonos. A continuación, observe que cada uno de estos genera sólo un sólido por la fórmula de Euler para el número de caras y regularidad forzando donde cada cara va.