Evaluar $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3+3 n^2+2 n}$

Question

Sumando esta serie desde $0$ hasta $\infty$, el resultado es $\frac{1}{4}$. He intentado mucho, pero no pude obtener este resultado. Creo que está mal.

¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Pistas - Fracciones parciales:

$$n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)\Longrightarrow$$

$$\frac{1}{n^3+3n^2+2n}=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2(n+2)}\Longrightarrow$$

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3+3n^2+2n}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{8}\right)=\ldots$$

Pista adicional: encuentra el patrón de cancelación en la serie tipo telescópica anterior...

Answer 2

$\begin{aligned} \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} &= \sum_{n \ge 1} \int_0^1\int_0^1\int_0^1 x^{n-1}y^nz^{n+1}\;{dx}\;{dy}\;{dz} \\& = \int_0^1\int_0^1\int_0^1\sum_{n \ge 1} x^{n-1}y^nz^{n+1}\;{dx}\;{dy}\;{dz} \\ & = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{z}{x}\sum_{n \ge 1} (xyz)^n\;{dx}\;{dy}\;{dz} \\& = \int_0^1\int_0^1\int_0^1\ \frac{yz^2}{1-xyz}\;{dx}\;{dy}\;{dz} \\ & = -\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} z\log(1-zy)\;{dy}\;{dz} \\& = \int_{0}^{1} z+(1-z)\log(1-z)\;{dz} \\& = \frac{1}{4}. \end{aligned} $

Answer 3

Fracciones parciales.

$$ n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2), $$ y por lo tanto $$ \frac{1}{n^3+3n^2+2n} = \frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2}. $$

Puedes determiner los números $A,B,C$ comparando coeficientes de potencias de $n$.

Si haces eso, es posible que encuentres que la mayoría de los términos en tu suma se cancelen.

Answer 4

$$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+2} \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n+2}\left( \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1} \right) =\frac{1}{n(n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}$$

Answer 5

Podemos evitar la fracción parcial y configurar una serie telescópica.

$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$

De manera similar, tenemos: $$\dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}$$

Nota, que esto es inmediatamente evidente si has visto algo de cálculo finito.