¿Para cuántos números enteros$(3n)^4-(n-10)^4$ es un cuadrado perfecto?

Question

Para cuántos enteros $n$ la expresión $$(3n)^4-(n-10)^4$$ se convierte en un cuadrado perfecto?

$$$$One way is: Let $x=3n$ and $y=n-10$ to get $$x^4-y^4=z^2.$$ Esta ecuación no tiene soluciones no triviales en números enteros (no quiero discutir sobre esto).

Yo estaba tratando de resolver este problema con más simples elementales de los métodos. Por ejemplo, podemos escribir la ecuación como $$40(n+5)(2n-5)(n^2-2n+10)=m^2.$$ Observar que $40 \mid m^2$. Por lo tanto $20 \mid m$. Escribir $m=20k$ para obtener $$(n+5)(2n-5)(n^2-2n+10)=10k^2,$$ Donde $k$ es un número entero no negativo. Buscar mod $5$. Llegamos $n^3(n-2) \equiv 0 \pmod{5}$. Así que tendremos a $n \equiv 0 \pmod{5}$ o $n \equiv 2 \pmod{5}$.

Si $n \equiv 0 \pmod{5}$ a continuación, vamos a $n=5N$ para obtener $$125(N+1)(2N-1)(5N^2-2N+2)=10k^2$$ De ello se desprende que $25 \mid k^2$$k=5K$. Ahora tenemos la siguiente ecuación. $$(N+1)(2N-1)(5N^2-2N+2)=2K^2$$

Es este obtener más simple o más difícil de esta manera? ¿Tiene alguna sugerencia?

Answer 1

Usando$$\gcd(N+1,2N-1)=\gcd(N+1,-3)\mid 3$ $$$\gcd(N+1,5N^2-2N+2)=\gcd(N+1,-7N+2)=\gcd(N+1,9)\mid 9$ $ vemos que los factores son casi coprime, por lo tanto debe casi (es decir, hasta pequeños factores que involucran como máximo a$$\gcd(2N-1,5N^2-2N+2)=\gcd(2N-1,5)\mid 5 $, a$2$, Y / o un$3$) sean cuadrados. Entonces de$5$ podría llegar a una contradicción.

Answer 2

$$(3n)^4-(n-10)^4=m^2\Rightarrow\begin{cases} 9n^2=x^2+y^2\\n^2-20n+100=x^2-y^2\text{ or}\space 2xy\end{cases}$$ WLG we can consider $ n, x, y$ without common factors then $ n $ no puede ser ni siquiera porque la parametrización bien conocida de triples pitagóricos que usamos anteriormente.

$$n\text{ odd}\Rightarrow 10n^2-20n+100=2x^2\Rightarrow 5n^2-10n+50=x^2$ $ Entonces$$5n^2-10n+50=25x_1^2\Rightarrow n^2-2n+10=5x_1^2\iff(n-1)^2+3^2=5x_1^2$$ This implies $ 5x_1 ^ 2 = 25 $ lo cual es absurdo.