Mapas lineales de raíces polinómicas sobre campos finitos

Question

Tome un grado arbitrario$n$ polinomio irreducible monic$f(x)$ over$\mathbb{F}_p$ con raíces$$\alpha, \alpha^p,\alpha^{p^2},\dots,\alpha^{p^{n-1}}$ $ in$\mathbb{F}_p[x] / \langle f(x) \rangle$. Ahora, considere otro grado$n$ monic irreducible$g(x)$ sobre$\mathbb{F}_p$. ¿Hay un mapa lineal que envía las raíces de$f$ a las raíces de$g$ en$\mathbb{F}_{p^n}\cong \mathbb{F}_p[x] / \langle f(x) \rangle$ (visto como un espacio vectorial)?

Editar: Más específicamente, si$\alpha,\dots,\alpha^{p^{n-1}}$ no son una base normal para$\mathbb{F}_{p^n}$, lo que (si cualquier cosa) se puede decir?

Answer 1

Voy a utilizar este ejemplo: la Construcción de una explícita isomorfismo entre finito extensiones de campos finitos

Vamos $p=2$, $f(x) = x^3+x+1$, $g(x)=x^3+x^2+1$ de modo que $L\simeq \mathbb{F}_2[x]/(x^3+x+1)$ $L'\simeq \mathbb{F}_2[x]/(x^3+x^2+1)$ son isomorfos como campos. Deje $\alpha$ ser una raíz de $f(x)$$L$, e $\beta$ ser una raíz de $g(x)$$L'$.

Desde $f$ no ha $x^2$ plazo, vemos que el $\alpha^4+\alpha^2+\alpha =0$. Las raíces de la $g$,$\beta^4+\beta^2+\beta = 1 \in \mathbb{F}_2$.

Suponemos que $T:L\rightarrow L'$ $\mathbb{F}_2$- lineal mapa que los mapas de las raíces de $f$ a las raíces de $g$, yo. e. $$ T(\{\alpha,\alpha^2,\alpha^4\})\subseteq \{\beta\beta^2,\beta^4\}. $$

Ahora, consideramos que $\alpha^4=\alpha^2+\alpha$. Por eso, $T(\alpha^4)=T(\alpha^2)+T(\alpha)$.

Si $T(\alpha)=T(\alpha^2)$, luego tenemos a $T(\alpha^4)=0$. Esto no es posible.

A continuación, debemos tener $T(\alpha)\neq T(\alpha^2)$. Comprobamos las tres posibilidades:

Caso 1: $T(\{\alpha,\alpha^2\})=\{\beta,\beta^2\}$.

Desde $T(\alpha^4) = \beta^2+\beta$$\beta^4=\beta^2+\beta+1 $, el elemento $\beta^2+\beta$ no es una raíz de $g$, en este caso es imposible.

Caso 2: $T(\{\alpha,\alpha^2\})=\{\beta,\beta^4\}$.

Desde $T(\alpha^4)= \beta^4+\beta = \beta^2+1$ no es una raíz de $g$, no es posible.

Caso 3: $T(\{\alpha,\alpha^2\})=\{\beta^2,\beta^4\}$.

Desde $T(\alpha^4) = \beta^4+\beta^2 = \beta+1$ no es una raíz de $g$, no es posible.