¿Es ${\varprojlim}^1 (\mathbb{Z}, \cdot n_k)$ libre de torsión?

Question

Deja que $$\mathbb{Z} \xleftarrow{\cdot n_1} \mathbb{Z} \xleftarrow{\cdot n_2} \mathbb{Z} \xleftarrow{\cdot n_3} \cdots$$ sea un sistema inverso con $n_i$ un número natural mayor a 1. De hecho, estoy tratando de averiguar si el término ${\varprojlim}^1$ no es un grupo de torsión, donde ${\varprojlim}^1 (\mathbb{Z}, \cdot n_k)$ está definido como el conúcleo del mapa $$ \mu : \prod_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{Z} \longrightarrow \prod_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{Z} \text{ , } (z_k)_k \longmapsto (z_k - n_k \cdot z_{k+1})_k \text{ .}$$ En la literatura encontré ejemplos similares que dicen que sigue de un argumento fácil que ${\varprojlim}^1 (\mathbb{Z}, \cdot n_k)$ es libre de torsión, pero no veo eso incluso después de haber trabajado en ello por un tiempo.

Mi primera idea fue llevar este sistema inverso a una secuencia exacta $$ 0 \rightarrow \left(\mathbb{Z}, \cdot n_k \right) \rightarrow \left(\mathbb{Z}, \text{id} \right) \rightarrow \left( \mathbb{Z} \bigg/ \prod_{i=1} ^k n_i, \text{proyecciones} \right) \rightarrow 0 $$ así que mediante la secuencia larga exacta de lim-lim$^1$ el problema se reduce a analizar $\varprojlim \left(\mathbb{Z} \big/ \prod_{i=1} ^k n_i \right) \bigg/ \mathbb{Z}$ donde $\mathbb{Z}$ está incrustado de forma canónica en $\varprojlim \left(\mathbb{Z} \big/ \prod_{i=1} ^k n_i \right)$ tomando un número $z$ a la secuencia $(z)_k$. Pero también en este punto me quedé atascado, así que intenté trabajar con la definición de ${\varprojlim}^1$ incluso sin obtener ningún resultado.

¿Alguien tiene una pista de cómo resolver este problema?

Gracias de antemano.

He descifrado un poco el problema, así que alguien podría tener una idea para el paso importante (los comentarios son bienvenidos). Como mencioné antes, tenemos ${\varprojlim}^1 (\mathbb{Z}, \cdot n_k) \cong \varprojlim \mathbb{Z} \big/ \prod_{i=1}^{k} n_i \bigg/ \mathbb{Z$. Cada elemento en $\mathbb{Z} \big/ \prod_{i=1}^{k} n_i$ está representado de forma única por un $0 \leq a_k < \prod_{i=1}^{k} n_i$, que podemos escribir de forma única como $a_k = x_0 + x_1 n_1 + ... + x_{k-1} \prod_{i=1}^{k-1} n_i$, donde $ 0 \leq x_j < \prod_{i=1}^{j} n_i$. Dado que $\varprojlim \mathbb{Z} \big/ \prod_{i=1}^{k} n_i$ es el núcleo del mapa anterior $\mu$ con $\prod_{k \in \mathbb{N}}\mathbb{Z} \big/ \prod_{i=1}^{k} n_i$ en lugar de $\prod_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$, tenemos $a_{k+1} \equiv a_k \text{ mod } \prod_{i=1}^{k} n_i$ para todo $k \in \mathbb{N}$, por lo que $a_{k+1}$ tiene una representación (única) $x_0 + x_1 n_1 + ... + x_{k-1} \prod_{i=1}^{k-1} n_i + x_k \prod_{i=1}^{k} n_i$. Luego un elemento en $\varprojlim \mathbb{Z} \big/ \prod_{i=1}^{k} n_i$ no es un elemento de $\mathbb{Z$ si $x_k \neq 0$ para infinitos $k$ en la representación anterior. Entonces deja que $a_k = x_0 + x_1 n_1 + ... + x_k \prod_{i=1}^{k} n_i$ para cada $k \in \mathbb{N}$ y $z \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}$. Nos gustaría mostrar $([za_k])_k \notin \mathbb{Z}$. Para cada $k$ tenemos

$$za_{k+1} = z (x_0 + ... + x_k \prod_{i=1}^{k} n_i) \equiv y_0 + ... + y_k \prod_{i=1}^k n_i \text{ mod } \prod_{i=1}^{k+1} n_i$$

para algún $0 \leq y_j < \prod_{i=1}^j n_i$.

(Más precisamente, para cada $x_m$ podemos escribir $zx_m \equiv b_0 + ... + b_{m-1} \prod_{i=1}^{m-1} n_i \text{ mod } \prod_{i=1}^{m} n_i$ para $0 \leq b_j < \prod_{i=1}^j n_i$.)

Ahora la pregunta es si podemos elegir infinitamente muchos $x_j \neq 0$ de modo que haya infinitos de esos $y_j$ que no son cero.

Answer 1

Aquí hay un contraejemplo. Establecemos $n_{k} = 3$ para todo $k \in \mathbb{N}$. Tomemos $\mathbf{y} := (1,1,1,\dotsc) \in \prod_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$. Entonces la imagen de $\mathbf{y}$ en $\mathrm{coker}(\mu)$ es de torsión 2 ya que $2\mathbf{y} = \mu(-\mathbf{y})$. Mostramos que $\mathbf{y}$ no está en la imagen de $\mu$. Supongamos que $\mathbf{y} = \mu(\mathbf{z})$ donde $\mathbf{z} = (z_{1},z_{2},z_{3},\dotsc) \in \prod_{k \in \mathbb{N}}$. Tenemos $z_{k+1} = \frac{z_{k}-1}{3}$ para todo $k \in \mathbb{N}.$ Notese que todos los $z_{k}$ son congruentes a $1 \pmod{3}$, en particular, todos son distintos de cero. Si $x$ es un número real, entonces cualquier $x < -\frac{1}{2}$ o $\frac{1}{4} < x$ implica que $|x| > |\frac{x-1}{3}|$. Esto implica que la secuencia $|z_{1}|,|z_{2}|,|z_{3}|,\dotsc$ es una secuencia estrictamente decreciente de enteros positivos, lo cual es una contradicción.