¿Por qué la relatividad general es independiente del fondo y el electromagnetismo depende del fondo?

Question

Leí en un libro, que es difícil formular la teoría del todo unificando todas las fuerzas, porque la relatividad general es un fondo independiente teoría mientras que el electromagnetismo no lo es. ¿Por qué?

Answer 1

Yo creo que esta es una muy importante novedad conceptual de GR. Me explico.

Electromagnetismo depende del fondo

Considere la posibilidad de la acción funcional a la teoría de Maxwell del campo electromagnético: $$ S[A] = - \frac{1}{4} \int d^4 x\, \sqrt{-g} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}. $$

Esta acción depende del potencial electromagnético $A_{\mu}(x)$, así como en la métrica tensor $g_{\mu \nu}(x)$. Sin embargo, $A_{\mu}(x)$ aparece en los corchetes de $S[A]$ $g_{\mu \nu}(x)$ no.

Esto hace toda la diferencia. Decimos que $A$ es una dinámica variable, mientras que $g$ es un parámetro externo, el fondo. La teoría de Maxwell es así, depende de la exacta fondo de la geometría, que es generalmente llevado a ser Minkowski plano espacio-tiempo.

La gravedad es independiente de fondo

Ahora la Relatividad General está dada por un diffeomorphism-invariante integral $$ S[g] = \frac{1}{16 \pi G} \intop_{M} d^4 x \sqrt{-g} \,R_{\mu \nu} g^{\mu \nu}. $$

Nota la profunda diferencia: ahora $g$ aparece en los corchetes de $S[g]$! La geometría del espacio-tiempo es una dinámica variable en la gravedad, así como el campo electromagnético es una dinámica variable en la teoría de Maxwell.

No tenemos más externa de fondo el espacio-tiempo, debido a que el espacio-tiempo es dinámico. El (clásico) espacio-tiempo métricas tensor no está dado a priori, sino que es una solución de las ecuaciones de Einstein. Que los antecedentes de la independencia.

Diff invariancia vs antecedentes de la independencia

Estos conceptos son muy diferentes.

Diffeomorphism invariancia simplemente significa que estamos construyendo una teoría de campo en un espacio-tiempo del colector, y cualquier coordinar parche es igual de bueno para la descripción de la teoría. Nota cómo, tanto la de Maxwell (para el electromagnetismo) y de Einstein-Hilbert (por gravedad) de las acciones en este post están escritos en el diffeomorphism invariante en el formulario.

Antecedentes de la independencia es, básicamente, si una teoría depende de una externa de la geometría del espacio-tiempo o no. Maxwell acción depende externo fondo de la geometría, mientras que la de Einstein-Hilbert (y su alta energía modificaciones) no. En palabras simples, se trata de saber si $g$ es en los corchetes de $S$.

Por qué debería importarnos

En primer lugar, fondo independiente de la física es muy diferente de la "vieja" de la física en el fondo. La ausencia de la timelike Matar campo vectorial representa generalmente mal definido conceptos como el tiempo y la energía.

Segundo, hay una física idea de fondo de la independencia: el espacio y el tiempo no son estáticos arena habitada por los campos, sino que tienen la misma dinámica de las propiedades que los campos tienen.

Tercero, no hay lugar para la evolución en el tiempo externo en el fondo independiente de contexto, porque no hay tiempo externo. Las consecuencias son de largo alcance: no general de conservación de la energía (excepto en particular, soluciones), no Hamiltonianos, no unitarity en la teoría cuántica. Esto se conoce como el problema del tiempo. Esto no indica que el fondo independiente teorías no físico, sin embargo, solo que tenemos que utilizar completamente diferentes técnicas con el fin de derivar predicciones. E. g. el fondo independiente de la dinámica se describe en términos de restricciones.

Hacer electromagnetismo fondo independiente

Es realmente fácil de hacer que la teoría de Maxwell de fondo independiente. Sólo tenemos a la pareja a la de la gravedad:

$$ S[A,g] = \intop_{\mathcal{M}} d^4 x \sqrt{-g} \left( \frac{1}{16 \pi G} R_{\mu \nu} g^{\mu \nu} - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} \right). $$

Nada junto a la Relatividad General (o su alta energía de la modificación) que está en el fondo independientes, debido a que $g$ aparece en los corchetes de la acción total.

Breve conclusión

El electromagnetismo es una teoría de un (electromagnética) de campo en el espacio-tiempo. La gravedad es una teoría del espacio-tiempo en sí.

¿Por qué es realmente difícil formular un Dedo del pie

La dificultad en la formulación de un Dedo del pie se encuentra en dos temas completamente diferentes:

1. La gravedad es difícil constantemente de cuantización. Esto se relaciona en parte con el fondo de la independencia. Manifiestamente fondo independiente de la cuantización de la existencia de procedimientos, por ejemplo, Loop Quantum Gravity.
2. Es difícil establecer un natural de la unificación de la gravedad y el Modelo Estándar (a menos que creas en compactifications). Esto tiene poco que ver con el fondo de la independencia, sobre todo siendo un problema de la obtención de un complejo de gravedad+medidor de Lagrange a partir de unas sencillas modelo geométrico.

Answer 2

Esta es mi conjetura, básicamente (yo auto-estudio, tener piedad).

En el enlace que has puesto, la respuesta está en el primer párrafo. Cuando se trata de fenómenos electromagnéticos, la carga y la masa de un electrón, por ejemplo, son parámetros libres.

Así que, como no tenemos una teoría para estos parámetros, sólo tenemos que aceptar nuestras mediciones.

En otras palabras, según la (última, ya que he leído algunas variaciones) definición de independencia del fondo, el EM no es independiente del fondo.

Independencia de fondo Vale la pena leer una respuesta muy agradable (y larga) de Luboš Motl, cuyo enlace descubrí después de escribir lo anterior.

Answer 3

Conviene tener en cuenta que no parece existir una definición universalmente aceptada de (in)dependencia de fondo.

Mi interpretación es más o menos la siguiente.

Cuando hablamos de teorías independientes del fondo, nos referimos a teorías que dan respuestas a cómo debería ser el espacio-tiempo (fondo). Es decir, entre sus principios y derivaciones, la teoría contendría algo que determinaría la geometría o escenario sobre el que "bailan" los objetos de la teoría. Como ejemplo, la teoría de la Relatividad General de Einstein no tiene que decir nada sobre la geometría del espacio-tiempo en sus postulados. En su lugar, la geometría surge como consecuencia de la teoría.

Por otra parte, si una teoría depende del fondo, entonces depende de un postulado sobre una determinada geometría del espacio. Es decir, uno necesita hacer estos postulados antes de poder siquiera empezar a hablar de la teoría en cuestión. En concreto, la electrodinámica no contiene información suficiente para sacar conclusiones sobre la geometría existente del espacio(tiempo).