Aquí es una prueba de uso de Poincaré-Hopf teorema (como se sugiere por Ted). Deje $\nabla$ ser una conexión en el paquete de $p: E\to B$. Tomar una degenerada campo de vectores $X$ $B$ y se eleva a un campo de vectores $Y$$E$$\nabla$. Deje $b_1,...,b_n$ denotar los puntos singulares de $X$; set $F_i:= p^{-1}(b_i), i=1,...,n$. Tomar pequeñas (de a pares distintos tubular de vecindarios $p^{-1}(U_i)$ de las fibras $F_i$, $i=1,...,n$. Estos barrios admite una estructura de producto $F_i\times U_i$ consistente con el fibration $p$. Elegir una degenerada campo de vectores $Z$$F\cong F_i, i=1,...,n$, se extienden a cada una de las $U_i$ (utilizando el producto de la descomposición) y luego se multiplica por el pull-backs (a través de $p$) de adecuado bump-funciones, apoyado en $U_i$'s. A continuación, extender el vector resultante campo $W$ para el resto de $E$. Por último, tomar el campo de vectores $V=Y+W$. El conjunto $Sing(V)$ de los puntos singulares de $V$ es distinto de la unión de copias de $Sing(Z)$$F_1,...,F_n$. En cada punto de $q\in F_i\cap Sing(V)$,
$$
índice(V,q)= índice(Z,q) \times índice(X, b_i)$$
(esto se deduce del hecho de que el determinante de un bloque cuadrado de la diagonal de la matriz con bloques de $A_1, A_2$ es igual a $det(A_1)\times det(A_2)$).
Ahora, lo que queda es sólo para contar el número de puntos singulares de $V$ (con signo): Cada fibra, $F_i$ contribuye
$$
índice(X,b_i)\times índice(Z)= índice(X,b_i)\times \chi(F).$$
Sumando sobre todos los puntos de $b_i$ obtenemos
$$
índice(V)= índice(X)\times \chi(F)= \chi(B)\times \chi(F).
$$
qed
