Encontrar el menor valor de $n$, de tal manera que la ecuación de $p^{2}+pq+q^{2}=n$ tiene sólo cinco soluciones

Question

Deje $1\le p<q$ números naturales tales que $p^{2}+pq+q^{2}=n$ Encontrar el menor valor de $n$, de modo que la ecuación tiene sólo cinco soluciones

es muy duro

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Notas editadas por MF

Si $\eta(n)$ es el número de $p,q>p$ pares que $n=p^2+pq+q^2$ el (menor) número $\alpha_k: \eta(\alpha_k) = k$ son fascinantes:

El primer número con $\eta(n) = 4$$1729$, lo cual es interesante por otras razones, y es divisible por $13$. De hecho, todos los números más bajos $\alpha_k$ $k>1$ aparentemente son divisibles por $13$: $$ \eta(91) = 2\\ \eta(637) = 3\\ \eta(1729) = 4\\ \eta(\mbox{respuesta a la pregunta}) = 5\\ \eta(12103) = 6\\ \eta(53599) = 8 $$ El problema es particularmente agradable desde $a_5 > \alpha_6$

Aún más difíciles problema es determinar $\alpha_7$ que es más de $266000$ aunque $\alpha_8 < 53600$.

Answer 1

Voy con $7^4×13=31213$. Tres de las soluciones que se obtienen multiplicando las soluciones para$637$$7^2$:

$637 \rightarrow (4,23)$ $31213\rightarrow (28,161)$

$637 \rightarrow (7,21)$ $31213 \rightarrow (49,147)$

$637 \rightarrow (12,17)$ $31213 \rightarrow (84,119)$

Representar el factor adicional de $7^2$ $3^2+(3×5)+5^2$ y el uso de la multiplicación de las propiedades de los enteros de Eisenstein para generar exactamente dos adicionales, primitivo soluciones:

$31213 \rightarrow (9,172)$

$31213 \rightarrow (101,103)$

Permítanos profundizar más en cómo los dos primitivos soluciones. Tenemos, por $637$ $49$ respectivamente:

$637=4^2+(4×23)+23^2$

$49=3^2+(5×3)+5^2$

Una Eisenstein entero tiene la forma $a+b\omega $ donde $\omega $ es una primitiva raíz cúbica de la unidad. La norma de $p-q\omega $ (Nota: el signo negativo) a $\sqrt{p^2+pq+q^2}$. Así

$|4-23\omega |=\sqrt{637}$

$|3-5\omega |=\sqrt{49}=7$

Ahora multiplica los enteros de Eisenstein , eliminando $\omega ^2$ haciéndolo como $-1-\omega$. A continuación, el producto es:

$|-103-204\omega |=\sqrt{31213}$

Esto no corresponde a un número entero positivo de solución para$p$$q$, ya que requiere el entero de los coeficientes a que se han mezclado los signos! Pero podemos multiplicar $-103-204\omega$ $\omega$ para obtener

$|101-103\omega |=\sqrt{31213}$

$101^2+(101×103)+103^2=31213$

Para obtener el $(9,172)$ solución multiplicamos $12-17\omega$$5-3\omega$, invirtiendo el orden de las $7^2$ descomposición. Todos los otros posibles multiplicaciones utilizando Eisenstein enteros a partir de las soluciones para $637$ $49$ repita los tres no primitivos posteriores soluciones obtenidas directamente de $31213=637×7^2$, o las dos primitivas soluciones ya propuestas.

Answer 2

Todas las $\alpha_k$ (el más pequeño de los números enteros con $k$ formas de descomponer como $p^2+pq+q^2$ que he sido capaz de encontrar son divisibles por $13$. La respuesta al problema es $\alpha_5 = 31213 = 7^4\cdot 13$. El $\alpha_k$ parecen amar a los factores primos de la forma $6r+1$ y el odio de los factores primos de la forma $6r-1$.

$$\begin{array}{rl} \alpha_2 = & 91 = 7 \cdot 13 \\ \alpha_3 = & 637 = 7^2 \cdot 13 \\ \alpha_4 = & 1729 = 7 \cdot 13 \cdot 19 \\ \alpha_5 = & 31213 = 7^4 \cdot 13 \\ \alpha_6 = & 12103 = 7^2 \cdot 13 \cdot 19\\ \alpha_7 = & 405769 = 7^4 \cdot 13^2 \\ \alpha_8 = & 53599 = 7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31\\ \alpha_9 = & 157339 =7^2 \cdot 13^2 \cdot 19 \\ \alpha_{10} = & 593047 = 7^4 \cdot 13 \cdot 19\\ \alpha_{11} = & 7^{10}×13 (**)\\ \alpha_{12} = & 375193 = 7^2 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31\\ \alpha_{13} = & 2989441 = 7^2 \cdot 13^2 \cdot 19^2 \\ \alpha_{14} = & 29059303 = 7^6 \cdot 13 \cdot 19 \\ \alpha_{15} = & 7709611 = 7^4 \cdot 13^2 \cdot 19 \\ \alpha_{16} = & 1983163 = 7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37\\ \alpha_{17} = & 7^6×13^4 (**)\\ \alpha_{18} = & 4877509 = 7^2 \cdot 13^2 \cdot 19 \cdot 31 \\ \alpha_{19} = & 7^{12}×13^2 (**)\\ \alpha_{20} = & 18384457 = 7^4 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \\ \alpha_{21} = & 377770939 = 7^6 \cdot 13^2 \cdot 19 \\ \alpha_{22} = & 146482609 = 7^4 \cdot 13^2 \cdot 19^2 \\ \alpha_{24} = & 13882141 = 7^2 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37\\ \alpha_{27} = & 92671671 = 7^2 \cdot 13^2 \cdot 19^2 \cdot 31 \\ \end{array} $$

** - resultado esperado basado en el primer factorizations.

El valor que se le da ahora por $\alpha_9$ más bajo que el citado originalmente; fue verificado como tener nueve soluciones positivas por búsqueda exhaustiva. Con tres distintos primer factor de $2^{3-1}=4$ de los nueve soluciones son primitivas, el resto no primitivos posteriores.