Integración de

Question

$$\begin{align} \int \sec x \, dx &= \int \cos x \left( \frac{1}{\cos^2x} \right) \, dx \\ &= \int \cos x \left( \frac{1}{1-\sin^2x} \right) \, dx \\ & = \int\cos x\cdot\frac{1}{1-\frac{1-\cos2x}{2}} \, dx \\ &= \int \cos x \cdot\frac{2}{1+\cos2x} \, dx \end{align}$$

Estoy atrapado aquí.

Cualquier ayuda para integrar la secante?

Answer 1

\begin{align*}\int\sec x\,dx&=\int\frac1{\cos x}\,dx\\&=\int\frac{\cos x}{\cos^2x}\,dx\\&=\int\frac{\cos x}{1-\sin^2x}\,dx.\end{align*} Ahora, haciendo $\sin x=t$$\cos x\,dx=dt$, consigue $\displaystyle\int\frac{dt}{1-t^2}$. Pero\begin{align*}\int\frac{dt}{1-t^2}&=\frac12\int\frac1{1-t}+\frac1{1+t}\,dt\\&=\frac12\left(-\log|1-t|+\log|1+t|\right)\\&=\frac12\log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|\\&=\frac12\log\left|\frac{(1+t)^2}{1-t^2}\right|\\&=\log\left|\frac{1+t}{\sqrt{1-t^2}}\right|\\&=\log\left|\frac{1+\sin x}{\sqrt{1-\sin^2x}}\right|\\&=\log\left|\frac1{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}\right|\\&=\log|\sec x+\tan x|.\end{align*}

Answer 2

Un método alternativo: El truco aquí es multiplicar $\sec{x}$$\dfrac{\tan{x}+\sec{x}}{\tan{x}+\sec{x}}$, entonces sustituto $u=\tan{x}+\sec{x}$$du=(\sec^2{x}+\tan{x}\sec{x})~dx$:

$$\int \sec{x}~dx=\int \sec{x}\cdot \frac{\tan{x}+\sec{x}}{\tan{x}+\sec{x}}~dx=\int \frac{\sec{x}\tan{x}+\sec^2{x}}{\tan{x}+\sec{x}}~dx=\int \frac{1}{u}~du=\cdots$$

No es obvio, a pesar de que es eficiente.

Answer 3

Después de $\int \cos x \left(\frac{1}{1-\sin^2x}\right)dx$ el uso de la transformación de $z = \sin x$$dz = \cos x dx$.

Editar:

$$\int\frac{1}{1-u^2}du = \frac{1}{2}\int\frac{(1+u)+(1-u)}{(1+u)(1-u)} = \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u}du$$

Y uso, $\int \frac{1}{u}du = \ln{|u|}$

Answer 4

Aunque la integral se puede evaluar de una manera sencilla el uso de análisis real, pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque basado en el análisis complejo. Para ello, vamos a proceder.

Utilizamos la Fórmula de Euler, $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, para escribir $\displaystyle \sec(x)=\frac2{e^{ix}+e^{-ix}}=\frac{2e^{ix}}{1+e^{i2x}}$. Entonces, tenemos

$$\begin{align} \int \sec(x)\,dx&=\int \frac2{e^{ix}+e^{-ix}}\\\\ &=\int \frac{2e^{ix}}{1+e^{i2x}}\,dx \\\\ &=-i2 \int \frac{1}{1+(e^{ix})^2}\,d(e^{ix})\\\\ &=-i2 \arctan(e^{ix})+C\tag 1\\\\ &=\log\left(\frac{1-ie^{ix}}{1+ie^{ix}}\right)+C\tag2\\\\ &=\log\left(-i\left(\frac{1+\sin(x)}{i\cos(x)}\right)\right)+C\tag3\\\\ &=\log(\sec(x)+\tan(x))+C'\tag4 \end{align}$$

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NOTAS:

En lo que va de $(1)$$(2)$, se utilizó la identidad de $\arctan(z)=i2\log\left(\frac{1-iz}{1+iz}\right) $

Inn ir de $(2)$$(3)$, multiplicamos el numerador y el denominador del argumento de la función logaritmo por $1-ie^{ix}$. Luego, se utilizó

$$\frac{1-ie^{ix}}{1+ie^{ix}}=\frac{-i2\cos(x)}{2(1-\sin(x))}=-i\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}$$

Por último, en lo que va de $(3)$$(4)$, se absorbe el plazo $\log(-i)$ en la integración constante de $C$ y la etiqueta de la nueva integración constante de $C'=C+\log(-i)$.