Hace poco vi esta pregunta en Quora. Vi que sólo satisface la ecuación. Realmente necesito ayuda por favor!
Respuesta
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Matthew Scouten
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Si $n$ es una solución, nos preguntamos si $np$ es una solución, donde $p$ es un primer $> 3$ que no divida a $n$. Tenemos $2^{n} \equiv -3^n \mod n^2$, lo $2^{np} \equiv (-3^n)^p \equiv - 3^{np} \mod n^2$, así que sólo necesitamos $2^{np} \equiv - 3^{np} \mod p^2$. Ahora $2^{np} + 3^{np} \equiv 2^n + 3^n \mod p$, es decir, $p$ debe ser un factor de $2^n + 3^n$.
EDIT: por el Contrario, si $2^n \equiv - 3^n \mod p$, decir $2^n = - 3^n + \alpha p$,$2^{np} = (-3^n + \alpha p)^p \equiv - 3^{np} \mod p^2$.
El único ingrediente que falta es demostrar que $2^n + 3^n$ debe tener un primer factor que es coprime a $n$. Si tuviéramos que nos gustaría tener una prueba de que la secuencia es infinito.
En el caso $n=1$, $2^1 + 3^1 = 5$, y $p=5$ da la solución $5$.
En el caso $n=5$, $2^5 + 3^5 = 5^2 \cdot 11$, y $p = 11$ da la solución $55$.
En el caso $n=55$, $2^{55} + 3^{55} = 5^2 \cdot 11^2 \cdot 35839 \cdot 55661 \cdot 28909244547481$, y $p=35839, 55661, 28909244547481$ todos dan soluciones, como hemos visto.
Por desgracia, se puede tomar un tiempo para el factor de $2^{1971145} + 3^{1971145}$.
