Suma de dígitos de un número.

Question

Tengo una pregunta hace poco, y yo soy incapaz de resolver.

Encontrar todos los números naturales $N$, Con la suma de los dígitos $S(N)$ donde $N=2\{S(N)\}^2$

Sé que $9|N-S(N)$, y dado que N es el doble de un cuadrado, se debe terminar en $0,2,8$. Pero no sé a dónde ir desde aquí. Alguien puede ayudar?

La Solución Oficial de la Organización

Utilizamos el hecho de que $9|n−S(n)$ para cada número natural $n$. Por lo tanto $S(n)(2S(n)−1)$ es divisible por $9$. Desde $S(n)$ $2S(n)−1$ son relativamente primos, se deduce que el $9$ divide cualquiera de las $S(n)$ o $2S(n)−1$, pero no tanto. También se observa que el número de dígitos de $n$ no puede exceder $4$. Si $n$ $k$ dígitos, a continuación, $n≥10k−1$ y $$2S(n)^2≤2\cdot(9k)^2=162k^2$$ If $k≥6$, we see that $$2S(n)^2≤162k^2<5^4k^2<10^{k−1}≤n$$ If $k = 5$, we have $$2S(n)^2≤162\cdot25=4150<10^4≤n$$ Por lo tanto,$n ≤ 4$$S(n) ≤ 36$. Si $9|S(n)$,$S(n) = 9,18,27,36$. Vemos que $2S(n)^2$ respectivamente, igual a $162, 648, 1458, 2592$. Sólo $162$ $648$ satisfacer $n = 2S(n)^2$. Si $9|(2S(n)−1)$,$2S(n) = 9k+1$. Sólo $k = 1,3,5,7$ dar valores enteros de a $S(n)$. En estos casos $2S(n)^2 = 50,392,1058,2048$. Aquí de nuevo $50$ $392$ dar $n = 2S(n)^2$. Por lo tanto la única números naturales con la propiedad$n = 2S(n)^2$$50,162,392,648$.

Answer 1

Queremos encontrar una cota superior para $N$ por lo cual es posible que $N = 2 S(N)^2$. El límite superior que voy a usar en la siguiente es muy duro, pero creo que todavía lo suficientemente bueno como para ser capaz de hacer los cálculos posteriores de la mano con un poco de persistencia. Vistazo a la respuesta de @OscarLanzi de una forma mucho más inteligente límite superior.

Una cota superior para $S(N)$ $$S(N) \leq 9\cdot \left(\log_{10}(N)+1\right).$ $ podemos usar este límite superior para ver que $$ 2 S(N)^2 - N \leq 2 \cdot \left(9\cdot \left(\log_{10}(N)+1\right) \right)^2 - N.$$ Para $N = 10^4$ vemos que el lado derecho de esta desigualdad es$4050 - 10^4 = -5950 < 0$, y en el cálculo de los derivados podemos ver fácilmente que esta expresión sólo disminuirá para $N > 10^4$. Esto significa que si queremos encontrar a $N$ tal que $N = 2 S(N)^2$ sólo tenemos que verificar los números de hasta el $10^4$, esta es una muy áspera límite superior.

---

Tenga en cuenta que, de hecho, que $N \equiv S(N) \pmod{9}$ $N$ debe satisfacer $$N - 2 N^2 \equiv 0 \pmod{9},$$ we deduce that $N \equiv 0 \pmod{9}$ or $N \equiv 5 \pmod{9}$. We see that $N$ must be twice a square and less than $10^4$, so $2S(N)^2 \leq 10^4$, which means that $S(N) \leq \sqrt{\frac{1}{2}\cdot{10^4}} \cong 70.7$. So $S(N)$ must be a number less than or equal to $70$ that is either $0$ or $5$ modulo $9$. There are only fifteen such positive numbers, the list is $$\left\{5,9,14,18,23,27,32,36,41,45,50,54,59,63,68\right\}.$$ These can all be checked separately, the list of these elements squared twice is $$\left\{\mathbf{50},\mathbf{162},\mathbf{392},\mathbf{648},1058,1458,2048,2592,3362,4050,5000,5832,6962,7938,9248\right\}.$$ Tipo de sorprendentemente los cuatro primeros caben todos. Estos son los únicos, por lo que la respuesta final es $$N \in \left\{50, 162, 392, 648\right\}.$$ La cantidad de comprobación para ser hecho, puede ser reducido mediante la obtención de una mejor cota superior.

Answer 2

@Pjotr5 identificado la solución, pero pidió más obligado. Aquí todos los cuatro dígitos candidatos son eliminados a través de un proceso de descenso, dejando sólo a los números en su lista hasta e incluyendo la $648$.

En primer lugar, los números de cinco dígitos dar una suma de dígitos no mayor de $45$ cuya plaza, duplicado, está a menos de cinco dígitos ($2×45^2=4050$). Contradicción. Lo mismo se aplica a más de cinco dígitos.

Números de cuatro dígitos de dar sumas de dígitos no más de $36$ cuya plaza, duplicado, es $2592$. Así que una de cuatro dígitos de la solución en la mayoría de las $2592$. Pero espere, hay más (o menos, si se quiere). Si el primer dígito de la propuesta de cuatro dígitos solución no es más que $2$ la suma de los dígitos es ahora, no más de $29$ dando un salto de $2×29^2=1682$, y, a continuación, si el primer dígito que tiene que ser $1$ la suma de los dígitos es en la mayoría de las $28$ dar $N\le 1568$.

Los cuatro dígitos obligado aún puede bajar más. La cota de $1568$ derivados anterior significa que los dos primeros dígitos no son más que $15$ y no suma de a más de $6$. Entonces la suma de los cuatro dígitos que ya no es limitado sólo por $28$, pero ahora delimitada por $24$. Dos veces la plaza de que se $1152$, por lo que ahora $N \le 1152$.

Usted sabe el taladro por ahora. Si $N$ tiene cuatro dígitos y es menor o igual a $1152$ a la suma de los dígitos no es más que $20$. Dos veces la plaza de que es sólo $800$, menos de cuatro dígitos, así que no hay de cuatro dígitos candidatos de la izquierda!