derivada

Question

Estoy mirando en la siguiente declaración en mi libro de texto:

deje $u : (0, 1) → (0, 1)$ el diablo de la escalera de la función, también conocido como el Cantor-Lebesgue función. Entonces derivados del es $u' = 0$ pointwise una.e.

• Obtenemos $$\int_0^1 u \, \varphi_k' \to -1 \, \, (k \to \infty)$$ si elegimos $(\varphi_k)_k \subset C^\infty_c((0,1))$ adecuadamente con $\varphi_k → \chi_{(0,1)}$ $(k → ∞)$

• la distribución de la derivada no se anula, por lo tanto no puede tener un débil derivado en $L^1_{\text{loc}}((0,1))$

Puedo obtener por qué la derivada es cero.e., y por qué la débil derivado debe ser cero, si existió

pero no entiendo el razonamiento con la $\varphi_k$!

• ¿Por qué este convergen a $-1$?
• Y lo que es "adecuada"?

Ayuda se agradece mucho!

Edit: he cometido un error en mi primera versión; debería ser $\varphi_k'$ en la integral con $\varphi_k \to \chi_{(0,1)}$

Ahora se actualiza correctamente

Answer 1

Es difícil escribir una precisa descripción analítica de la $\varphi_k$ aquí, pero la forma básica se puede tomar no es demasiado difícil de describir. El problema es encontrar a $\varphi_k$ con la propiedad de que $$\int_0^1 \varphi_k = 0 \quad \text{and} \quad \int_0^1 u \, \varphi_k' = -1$$for all $k$, and such that $\varphi_k$ converges to $\chi_{(0,1)}$.

Hacer lo siguiente:

1. deje $\varphi_k$ ser idéntica $1$$(1/k,1-1/k)$. Esta se ocupa de la convergencia.
2. en $(1-1/k,1)$ dar $\varphi_k'$ un chapuzón a un gran número negativo y luego de un rebote hasta el $0$
3. definir $\varphi_k$$(0,1/k)$, de modo que su integral se desvanece en $(0,1)$.

La variación del tamaño de la inmersión, se cambiará el valor de la integral de $u \, \varphi_k'$ desde esta funciones se pondera mucho más cerca de $1$ que cerca de $0$. El reto técnico para hacer la inmersión apenas a la derecha para que $u \, \varphi_k'$ ha integral exactamente $-1$. No es difícil ver que esto es posible.

Finalmente, esto nos lleva a $$\int_0^1 u \, \varphi_k' = -1$$ for all $k$ giving you a nonvanishing distibutional derivative of $u$.

Answer 2

Esta pregunta (y @Umberto P. la buena respuesta) muy bien ilustra cómo las distribuciones/funciones generales de explicar que la aparentemente paradójica características del Cantor-Lebesgue escalera de la función no se paradójico, después de todo.

Otro enfoque, es a través de los espacios de Sobolev y Sobolev incrustadas. Es decir, para una distribución $u$ tal que $u\in L^2[0,1]$ y su distribución derivado $u'$$L^2[0,1]$, nos muestran no sólo la Sobolev involucración $u\in C^{0,{1\over 2}}$ (con Lipschitz índice ${1\over 2}$), sino que, por cierto, de que tales funciones $u$ do satisfacer el teorema fundamental del cálculo (que el Cantor-Lebesgue función está diseñada para fallar). Así, por ejemplo, el Cantor-Lebesgue función, mientras que en $L^2$, es evidente que no tienen la distribución de la derivada en $L^2$.