Hay muchos números primos que sólo tienen dígitos del conjunto de números primos de una cifra $\mathcal S_p = \{2,3,5,7\}$ pero ¿podemos demostrar que existe al menos un $p$ para cada $n$ : $10^n \leq p \leq10^{n+1}$ , $n\in \mathbb N$ con dígitos sólo en $\mathcal S_p$ ?
unos primeros ejemplos $$7, 23, 257, 2357, \cdots$$
Parece algo fácil de verificar para muchos $n$ pero difícil de probar para todos.
EDITAR No se trata en absoluto de la misma cuestión que el marcador de duplicados. Se pregunta por primos de todos los tamaños, no sólo de tres dígitos, y sólo se pregunta si están formados únicamente por primos de un dígito.
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Posible duplicado de ¿Número dos veces primo?
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Existen $4^n$ números candidatos con $n$ dígitos. La "probabilidad" de ser primo es $\sim\frac 1n$ por lo que es bastante factible suponer que existen tales primos con todas las longitudes de dígitos una vez que superamos la pequeña $n$
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@PaoloLeonetti Estoy de acuerdo en que la pregunta es parecida, pero no es un duplicado. El OP pregunta si se puede demostrar que existe al menos una $p$ para cada $n$ : $10^n \lt p \lt 10^{n+1}, n \in \mathbb{N}$ mientras que la pregunta original sólo pregunta si existe un número de tres cifras con esta propiedad (la respuesta única y aceptada así lo refleja).
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@jvdhooft Estoy de acuerdo, pero la misma pregunta (o mejor, una más débil, en la que sólo se pregunta por "infinitamente muchos primos" de esta forma) ha sido formulada en los comentarios por Colm Bhandal.
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El siguiente es el número de números primos con n dígitos en el conjunto $\{2,3,5,7\}$ con $2\le n\le 12$ : $$4,\ 15,\ 38,\ 128,\ 389,\ 1325,\ 4643,\ 16623,\ 59241,\ 214432,\ 781471$$
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@JulianAguirre: Vaya parece una función que aumenta rápido. Quizás una pregunta más interesante sería "¿cuántos por ciento de los primos serán de este tipo para diferentes ? $n$ ".
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@JuliánAguirre Interesante que la relación de estos números esté siempre entre $3$ y $4$ . (con la excepción 38/15)
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@JuliánAguirre, oeis.org/A135944 amplía su (¡buena!) lista hasta $n=18$ .
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También de posible interés: oeis.org/A020458
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@BarryCipra No seguí mi consejo: comprueba siempre la OEIS