Está disminuyendo el % de secuencia $a_1 = \frac{1}{2}, a_2 = 1, a_{n+1} = \frac{na_n+1}{a_{n-1}+n}$

Question

Considerar la secuencia $\{a_n\}$ definido por $$a_1 = \frac{1}{2}, a_2 = 1, a_{n+1} = \frac{na_n+1}{a_{n-1}+n}, \forall n\ge 2. demostrar que $\{a_n\}_{n\ge 3}$ está disminuyendo.

Llego el primer $200$ valores de $\{a_n\}$ y reconocer este hecho, pero no puedo probarlo.

Muchas gracias.

Answer 1

Comentarios: parece que en la parte III no es relevante para la pregunta original. Además, si dejamos caer la parte III, el resto de las hipótesis de inducción surtan efecto con menor $n.$ Por otro lado, la búsqueda de III es lo que me permitió resolver el problema; en conjunto, las partes III y IV darle una muy preciso de la velocidad de convergencia. He puesto en algunas de las líneas de símbolos para dividir las partes.

Tome $$a_n = 1 + \delta_n$$

Puedo conseguir $$1 + \delta_{n+1} = \frac{n+1+ n \delta_n}{n+1+ \delta_{n-1}}$$

La hipótesis de inducción hacerse extensivo, y son verdaderas para $n \geq 8:$

$$\mbox{I:} \hspace{20mm} \delta_n > 0,$$ $$\mbox{II:} \hspace{20mm} n \delta_n < 1,$$ $$\mbox{III:} \hspace{20mm} n \delta_n > (n-3) \delta_{n-1} > \delta_{n-1},$$ $$\mbox{IV:} \hspace{20mm} n \delta_n < (n-2) \delta_{n-1}.$$

Comenzamos con la parte III utilizando sólo el $n \delta_n > \delta_{n-1}$, $$1 = \frac{n+1}{n+1} < \frac{n \delta_n}{\delta_{n-1}},$$ por el `desarrollo" de la desigualdad $$1 = \frac{n+1}{n+1} < \frac{n+1+ n \delta_n}{n+1+ \delta_{n-1}} <\frac{n \delta_n}{\delta_{n-1}},$$ $$1 = \frac{n+1}{n+1} < 1 + \delta_{n+1} < \frac{n \delta_n}{\delta_{n-1}},$$ y $$0 < \delta_{n+1}.$$ Esta fue la inducción de paso de la parte I.

Contexto: en el marco de la (simple) de fracciones continuas, con dos consecutivos convergents (vamos a decir que es para un positivo irracional), cuando el "cociente parcial" $a_n$ es igual a $1,$ el próximo convergente $\frac{h_n}{k_n}$ es el desarrollo de los dos anteriores. $$\frac{h_n}{k_n} = \frac{a_n h_{n-1}+ h_{n-2}}{a_n k_{n-1}+ k_{n-2}}$$ Lo $a_n$ podría ser, la nueva convergente es entre los dos.

$$\bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc$$

De la parte II obtenemos $$1 + \delta_{n+1} = \frac{n+1+ n \delta_n}{n+1+ \delta_{n-1}} < \frac{n+2}{n+1+ \delta_{n-1}} < \frac{n+2}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1},$$ $$\delta_{n+1} < \frac{1}{n+1}.$$ Esta fue la inducción de la parte II. $$\bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc$$

De vuelta a III, tenemos $$\delta_{n-1} < \left( \frac{n}{n-3} \right) \delta_n.$$ Lo $$1 + \delta_{n+1} > \frac{n+1+ n \delta_n}{n+1+ \left( \frac{n}{n-3} \right) \delta_n}.$$ $$n+1 + (n+1) \delta_{n+1} + \left( \frac{n}{n-3} \right) \delta_n (1 + \delta_{n+1}) > n+1 + n \delta_n.$$ $$(n+1) \delta_{n+1} + \left( \frac{n}{n-3} \right) \delta_n (1 + \delta_{n+1}) > n \delta_n.$$ $$1 + \delta_{n+1} < \frac{n+2}{n+1}$$ $$(n+1) \delta_{n+1} + \left( \frac{n}{n-3} \right) \left( \frac{n+2}{n+1} \right) \delta_n > n \delta_n.$$ Para $n \geq 7,$ $$\frac{n^2 + 2n}{n^2 -2n-3} < 2.$$ Para $n \geq 7,$ $$(n+1) \delta_{n+1} > (n-2) \delta_n$$ Esta fue la inducción de la parte III. $$\bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc$$

En la otra dirección, en la parte IV se da $$\delta_{n-1} > \left( \frac{n}{n-2} \right) \delta_n.$$ $$1 + \delta_{n+1} < \frac{n+1+ n \delta_n}{n+1+ \left( \frac{n}{n-2} \right) \delta_n}.$$ $$n+1 + (n+1) \delta_{n+1} + \left( \frac{n}{n-2} \right) \delta_n (1 + \delta_{n+1}) < n+1 + n \delta_n.$$ $$(n+1) \delta_{n+1} + \left( \frac{n}{n-2} \right) \delta_n (1 + \delta_{n+1}) < n \delta_n.$$ $$(n+1) \delta_{n+1} + \left( \frac{n}{n-2} \right) \delta_n < n \delta_n.$$ $$\frac{n}{n-2} > 1$$ $$(n+1) \delta_{n+1} < (n -1) \delta_n.$$ Esta fue la inducción de la parte IV. $$\bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc$$