¿Qué significa que una ley sea fundamental?

Question

Hace poco estuve leyendo sobre la ley de Coulomb y la ley de Gauss, y varias fuentes parecían afirmar que la ley de Gauss era más "fundamental" que la ley de Coulomb, a pesar de que una se deduce de la otra, lo que me hizo pensar: ¿qué significa siquiera que una ley/teorema sea más fundamental?

Answer 1

A grandes rasgos, una ley es más fundamental que otro si lo explica. (No hay garantía de que ninguna ley sea "fundamental", en el sentido de que no haya nada aún más fundamental; quizá todas las leyes tengan una explicación más profunda, pero en un momento dado nuestro conocimiento es finito).

La conjetura más obvia sobre lo que significa para $A$ para explicar $B$ es que $B$ se deduce de $A$ pero si la deducción funciona en ambos sentidos, esto no revela cuál es más fundamental, que es el punto en el que has dado. (Si quieres ponerte técnico, en la filosofía de la ciencia la definición simple de explicación que acabo de criticar es la modelo deductivo-nomológico .) De hecho, podemos obtener la ley de Coulomb como un caso especial de la ley de Gauss, o la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb por linealidad.

Las afirmaciones más fundamentales proporcionan una visión más profunda. La ley de Gauss es más fundamental en el sentido de que a partir de las ecuaciones de Maxwell obtenemos una descripción vectorial de los campos electromagnéticos que funciona para distribuciones de carga arbitrarias. Es en este punto donde los campos $\vec{E},\,\vec{B}$ se relacionan en una teoría que los unifica. La unificación suele ser un signo de una visión más profunda de la física, mientras que la ley de Coulomb sólo habla de $\vec{E}$ .

De las ecuaciones de Maxwell surgen las ecuaciones de onda invariantes de Lorentz que, en última instancia, inspiraron la relatividad especial. Si reescribimos $\vec{E},\,\vec{B}$ en términos de $\vec{A},\,\phi$ (que se unen en $A^\mu$ relativísticamente), reducimos la ley de Gauss a $\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$ . Pero un formalismo manifiestamente relativista ofrece una comprensión aún más profunda del electromagnetismo, mucho más allá de lo que imaginó Coulomb.

En este punto sólo nos preguntamos dónde $A^\mu$ viene de. Electrodinámica escalar lo explica en términos de simetrías locales de un campo escalar; esto proporciona una exposición aún más fundamental. (Podríamos ir más lejos, pero ya me entiende).

Answer 2

La ley de Gauss es más fundamental en algunos aspectos:

Es aplicable en más situaciones:

Una versión de la Ley de Gauss que involucra el potencial vectorial sigue siendo válida en la teoría cuántica de campos, independientemente de la elección del gauge, mientras que la Ley de Coulomb sólo surge después de elegir el gauge de Coulomb, $\nabla\cdot\vec{A}=0$ .

Requiere menos supuestos físicos:

La Ley de Gauss no es más que el teorema de la divergencia, que no requiere ningún supuesto físico, ya que es una afirmación matemática basada en la estructura de $\mathbb{R}^3$ . La Ley de Gauss define entonces la carga como la divergencia del campo eléctrico*, escalada por una constante arbitraria. Por su parte, la Ley de Coulomb parte esencialmente de la hipótesis de un potencial de interacción, que es una suposición física, y define la carga basándose en esta suposición física. Ambas pueden equipararse si se supone que ni la carga ni el campo eléctrico se mueven, pero esto también es una suposición física.

Tiene un significado más amplio en general:

La Ley de Coulomb es un enunciado sobre las fuerzas y/o campos eléctricos generados en presencia de carga. La Ley de Gauss, por el contrario, es una afirmación sobre el comportamiento del campo eléctrico en general, independientemente de la presencia o no de carga. Como tal, la Ley de Gauss sigue dando afirmaciones útiles en el contexto de la radiación electromagnética en el vacío, mientras que la Ley de Coulomb sólo da una respuesta vacía.

*Aquí suponemos la existencia del campo eléctrico. Esto no es problemático ya que incluso la QFT lo trata como fundamental.

Answer 3

A grandes rasgos, se puede considerar que una validez más general es más fundamental.

En el caso de la comparación entre la ley de Gauss y la ley de Coulomb, ambas son exactamente equivalentes en la estático casos, pero la ley de Gauss también es una ley válida en una situación genérica. Así pues, la ley de Gauss puede considerarse más fundamental que la ley de Coulomb.

En otras palabras, la ley de Coulomb, $$\vec{E}(\vec{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{\text{space}}\dfrac{\vec{r}-\vec{r'}}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3}{\rho(\vec{r'})} d^3\vec{r'} \tag{1}$$

es una expresión válida para el campo eléctrico en un punto $\vec{r}$ debido a una distribución de carga $\rho(\vec{r'})$ sólo en una situación estática.

Pero, la ley de Gauss, $$\nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=\dfrac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_0} \tag{2}$$

es una de las ecuaciones generales de Maxwell y siempre es válida, tanto en el caso estático como en el dinámico.

En el caso estático, $(2)$ implica $(1)$ (y viceversa) y, por tanto, son equivalentes. Pero, en el caso general, $(1)$ no se mantiene mientras el $(2)$ hace $(2)$ más fundamental que $(1)$ . Así que, como he dicho, en un sentido aproximado, llamamos a algo una característica más fundamental de las leyes de la física si la característica sobrevive a más generalizaciones.