Aquí es un contraejemplo. Deje $\hat{\mathbb{Z}}$ ser el profinite finalización de $\mathbb{Z}$. Decir que un elemento $\alpha\in\hat{\mathbb{Z}}$ es Noetherian si para cualquier polinomio distinto de cero $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$, $f(\alpha)$ es divisible por sólo un número finito de elementos de $\mathbb{Z}$. Para cualquier $\alpha\in\hat{\mathbb{Z}}$, vamos a $R_\alpha\subset\mathbb{Q}[x]$ ser el anillo de polinomios de la forma $f(x)/n$, donde $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$, $n\in \mathbb{Z}$, y $n$ divide $f(\alpha)$. El fin de $R_\alpha$ al declarar que las $x$ es infinitamente grande.
En primer lugar, me dicen que uno puede llevar a cabo una especie de algoritmo de Euclides con elementos de $R_\alpha$. Supongamos que tenemos elementos positivos $a,b\in R_\alpha$$b<a$. En primer lugar, supongamos $\deg b<\deg a$. Por el algoritmo de la división en $\mathbb{Q}[x]$, hay algunos $\tilde{c}\in\mathbb{Q}[x]$ tal que $\tilde{r}=a-\tilde{c}b$ tiene grado menor que $b$. Hay algunos $q\in\mathbb{Q}$ tal que $0\leq q<1$ $c=\tilde{c}-q\in R_\alpha$ (esto es porque si $N\in\mathbb{Z}$ es tal que $N\tilde{c}\in \mathbb{Z}[x]$, $N\tilde{c}(\alpha)-n$ debe ser divisible por $N$ algunos $n\in[0,N)$). A continuación, $r=a-cb=\tilde{r}+qb$ satisface $0\leq r<b$.
Por otro lado, supongamos $\deg b=\deg a$. A continuación, podemos realizar el algoritmo de Euclides para $\mathbb{Z}$ prestando atención sólo a los principales coeficientes de $a$$b$, y en un número finito de pasos que se ha reducido el grado de uno de ellos.
Siguiendo el algoritmo anterior, siempre podemos reducir el grado de uno de los dos elementos de $R_\alpha$ a través de un número finito de pasos. Por lo tanto el algoritmo debe terminar siempre, así que obtener un divisor común de dos elementos $a,b\in R_\alpha$, que está en el ideal de $(a,b)$. De ello se desprende que $R_\alpha$ es un Bezout de dominio.
Además, $R_\alpha$ es especial. De hecho, hemos demostrado la existencia forma parte de la definición de "especial" en el curso de describir el algoritmo de Euclides para $R_\alpha$. Por la singularidad parte, sólo tenga en cuenta que no hay ningún elemento de $R_\alpha$$0$$1$, por lo que si $0\leq r<s<b$ $s-r$ no puede ser divisible por $b$.
Por último, supongamos $\alpha$ es Noetherian. Luego me dicen que no hay cadenas infinitas $a_1>a_2>\dots$ de los elementos positivos de $R_\alpha$ tal que $a_{n+1}\mid a_n$ por cada $n$; de esto se desprende que $R_\alpha$ es en realidad un PID. De hecho, en cualquier cadena, el grado de $a_n$ sólo puede ir hacia abajo un número finito de veces, por lo que los cocientes $a_n/a_{n+1}$ el tiempo debe estar en $\mathbb{Z}$. Pero desde $\alpha$ es Noetherian, $a_1$ no puede ser divisible por un número infinito de números enteros, así que esto es imposible.
Queda demostrado que existe una Noetherian elemento $\alpha\in\hat{\mathbb{Z}}$. Para mostrar esto, enumerar los distintos de cero los elementos de la $\mathbb{Z}[x]$$\{f_n\}$. Tenga en cuenta que para cualquier $n$, existe un número $N_n$ que si $p>N_n$ es primo, entonces hay algo de $a\in\mathbb{Z}/(p)$ tal que $f_i(a)\neq0\pmod p$$i=1,\dots,n$. Así, podemos elegir los residuos de $\alpha$ mod $p$ de manera tal que cada vez que $p>N_n$, $f_i(\alpha)$ no es divisible por $p$ todos los $i\leq n$. Para cada una de las $n$,, $f_n(\alpha)$ sólo puede ser divisible por un número finito de distintos números primos.
Ahora para $p$ fijo, supongamos que ya hemos elegido el residuo de $\alpha$ mod $p^d$ algunos $d$. Para cualquier $n$, podemos encontrar un residuo $a\in\mathbb{Z}/(p^e)$ algunos $e\gg d$ elevación de nuestro residuo de mod $p^d$ tal que $f_n(a)$ no es divisible por $p^e$ (porque si elegimos $a$ a ser pequeña en relación a $p^e$ la única manera de $f_n(a)$ puede ser divisible por $p^e$ si $f_n(a)=0$, e $f_n$ tiene sólo un número finito de enteros raíces). Así que puede uno por uno a los residuos de $\alpha$ mod $p^d$ superior y superior, $d$ de manera tal que cada una de las $f_n(\alpha)$ termina divisible por $p$ sólo un número finito de veces.
Como nota final, esta construcción es, en cierto sentido, la única manera de conseguir un contraejemplo. De hecho, si $R$ es especial totalmente ordenado anillo y $x\in R\setminus \mathbb{Z}$ es positivo, $x$ debe ser infinitamente grande y sus reducciones de mod $n$ por cada $n\in\mathbb{Z}$ determinar un elemento $\alpha\in\hat{\mathbb{Z}}$. Entonces es fácil ver que $R$ debe contener la sub-anillo $R_\alpha\subset \mathbb{Q}[x]$. Si además de la $R$ es Noetherian, a continuación, $\alpha$ debe ser Noetherian Así que cada especial totalmente ordenado (Noetherian) anillo además de a $\mathbb{Z}$ es una unión de subrings de la forma $R_\alpha$ ($\alpha$ Noetherian).
