Espacio que es trayectoria-conectado no

Question

Considere los dos siguientes definiciones:

Conectado : Un topologiocal espacio X está conectado si no es distinto de la unión de dos subconjuntos, es decir, si X es distinto de la unión de dos conjuntos a y B, entonces a o B es el conjunto vacío.

Ruta De Acceso Conectado : Un espacio topológico X es el camino-conectados si cualquiera de los dos puntos en X puede ser acompañado por un camino continuo.

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Hasta ahora me imagino, yo creo que deberían ser equivalentes. Si X está conectado el fib es trayectoria-conectado. Pero, el Thm tengo de conferencia, sólo si X ruta de acceso conectado entonces X está conectado (El recíproco no es necesariamente cierto.)

Puede alguien darme alguna imagen de un espacio que está conectado, pero no de ruta de acceso conectado? Sólo la foto por favor, porque quiero agarrar la idea. Ya he visto algunos ejemplos como en conectado, pero no de ruta de acceso conectado?, No puedo agarrar la idea de si (espacio) se componen de una sola pieza, no podía hacer un camino continuo de cualquiera de los dos puntos.

Gracias :)

Answer 1

Otros han mencionado que el topologist de la curva sinusoidal, que es el ejemplo canónico. Pero me gusta este, aunque es la misma idea:

Esta es la imagen de la curva paramétrica $\gamma(t)=\langle (1+1/t)\cos t,(1+1/t)\sin t\rangle,$ junto con el círculo unidad. No hay camino de unirse a un punto de la curva con un punto en el círculo. Sin embargo, el espacio es el cierre de la conexión de establecer $\gamma((1,\infty))$, por lo que está conectado.

Answer 2

Esta es la foto de el peine espacio de un artículo de Wikipedia sobre ella, se puede ayudar a:

Esta respuesta contiene una bastante extensa discusión de por qué el borrado del peine espacio, aunque conectado, no es trayectoria-conectado. (Eliminado peine espacio de sólo dos puntos en el $y$-eje, el origen, y $\langle 0,1\rangle$. No hay camino de $\langle 0,1\rangle$ a cualquier otro punto del espacio.)