¿Qué es? $M_x$ en la Ley Básica IIb de Frege?

Question

La obra magna de Gottlob Frege, "Las leyes básicas de la aritmética" (Die Grundgesetze der Arithmetic en alemán) constituye uno de los intentos más impresionantes y meticulosos de desarrollar un fundamento riguroso para las matemáticas basado en la lógica. Desgraciadamente, Bertrand Russell dedujo una contradicción de la Ley Básica V, uno de los axiomas del sistema de Frege, por lo que los matemáticos tuvieron que buscar nuevos fundamentos, pasando de la teoría ingenua de conjuntos de Frege al sistema de teoría axiomática de conjuntos que utilizamos hoy.

Pero tengo una pregunta sobre otra de las leyes básicas de Frege. Ahora bien, Frege trabajó originalmente en un extraño lenguaje diagramático que muy poca gente se ha tomado el tiempo de aprender. Pero Richard Heck, en la introducción de su nuevo libro "Reading Frege's Grundgesetze", pone las Leyes Básicas de Frege en el simbolismo lógico moderno, y afirma la Ley Básica IIb como sigue: $\forall F (M_x Fx) \rightarrow M_x Gx$ . Eso parece el axioma de instanciación universal (AKA eliminación universal) de la lógica de segundo orden, excepto por la parte de la $M_x$ . ¿Qué hace el $M_x$ ¿quieres decir?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias por adelantado.

Answer 1

$M_x$ representa un concepto de segundo nivel (en el sentido de Frege), y sí la ley IIB puede ser tomada aquí como la ley de la UE en el segundo nivel. Véase Grundgesetze §25 (p. 42 en la nueva traducción).

Para explicarlo un poco más: recordemos que un concepto de primer nivel toma un objeto y arroja una verdad. Así, para Frege, la expresión de un concepto de primer nivel será algo así como $F^1(\ )$ -- con un hueco para indicar que la expresión necesita completarse con un nombre para dar lugar a una frase.

Del mismo modo, un concepto de segundo nivel toma un concepto de primer nivel y produce una verdad. Así, para Frege, la expresión de un concepto de segundo nivel será --en una primera toma-- algo así como $M^2(\ )$ con un hueco para indicar que la expresión necesita ser completada por una expresión para el concepto de primer nivel para producir una frase.

Pero, ¡agárrate! Si introducimos la expresión del primer nivel en la del segundo, obtenemos $M^2(F^1(\ ))$ que sigue siendo una tontería y no una frase. ¡¡Ooooops!!

Pero es evidente lo que falta. La expresión de segundo nivel tiene que aportar algo para rellenar el hueco (en la expresión del concepto de primer nivel). Paradigmáticamente, suministrará y luego vinculará una variable de objeto. Indiquemos la variable suministrada mediante el subíndice $M^2_x(\ )$ . Entonces la idea es que aplicando esto a $F^1(\ )$ produce $M^2_x(F^1(x))$ , que es una sentencia como se requiere.

¿Te parece raro? No, de hecho estamos muy familiarizados con tales conceptos de segundo nivel con enlace de variables -- nuestro viejo amigo el cuantificador universal es uno de ellos. La expresión conceptual de segundo nivel $\forall_x$ (como lo consideraría Frege) se aplica a $F(\ )$ para conseguir el familiar $\forall_xF(x)$ . Frege y Heck $M_x$ sólo sustituye a las expresiones conceptuales de segundo nivel como $\forall_x$ .