Encontrar $x^2+y^2+z^2$ $x+y+z=0$ y $\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}=0$ y $\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}=0$ para cualquier $x,y,z \in [-\pi,\pi]$

Question

Encontrar $x^2+y^2+z^2$ $x+y+z=0$ y $\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}=0$ y $\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}=0$ para cualquier $x,y,z \in [-\pi,\pi]$.

Mi intento: he encontrado una respuesta $x=0,y=\frac{2\pi}{3},z=-\frac{2\pi}{3}$ que da el % de respuesta $x^2+y^2+z^2=\frac{8{\pi}^2}{9}$. Pero quiero una manera de encontrar la respuesta usando ecuaciones. ¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Usted puede intentar este método: $$x+y+z=0 \implies x+y=-z\tag1$ $ y $$\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}=0$ $ $$\implies \sin{x}+\sin{y}=-\sin{z}\tag2$ $ y $$\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}=0$ $ $$\cos{x}+\cos{y}=-\cos{z}\tag3$ $

So $$(2)^2+(3)^2 \implies 2+2\cos(x-y)=1$$ $$\implies \cos(x-y)=-\frac12\tag4$$

Del mismo modo obtenemos $$\cos(y-z)=-\frac12\tag5$ $ $$\cos(z-x)=-\frac12\tag6$ $

Y de $(1)$, $\cos(x+y)=\cos z$

¿Puede proceder ahora?

Answer 2

\begin{eqnarray} \sin z &=& -\sin x-\sin y\\ \cos z &=& -\cos x-\cos y \end{eqnarray}\begin{eqnarray} \sin^2z &=& \sin^2x+\sin^2y+2\sin x\sin y\\ \cos^2z &=& \cos^2x+\cos^2y+2\cos x\cos y \end{eqnarray} añadir a estas ecuaciones concluye\begin{eqnarray} 1 &=& 1+1+2(\sin x\sin y+\cos x\cos y)\\ 0 &=& 1+2\cos(x-y)\\ -\frac{1}{2} &=& \cos(x-y) \end{eqnarray} y también $$\cos^2\frac{x-y}{2}=\frac{1+\cos(x-y)}{2}=\frac{1}{4}$ $ o $$\cos\frac{x-y}{2}=\pm\frac{1}{2}$ $ en la otra mano\begin{eqnarray} (\sin x+\sin y+\sin z)^2 + (\cos x+\cos y+\cos z)^2 &=& 0\\ \sin^2x+\sin^2y+\sin^2z+2\sin x\sin y+2\sin y\sin z+2\sin z\sin x &+&\\ \cos^2x+\cos^2y+\cos^2z+2\cos x\cos y+2\cos y\cos z+2\cos z\cos x &=&0\\ 3+2\big(\cos x\cos y+\sin x\sin y\big)+2\big(\cos y\cos z+\sin y\sin z\big)+2\big(\cos z\cos x+\sin z\sin x\big) &=&0\\ 3+2\cos(x-y)+2\cos(y-z)+2\cos(z-x) &=&0\\ 3+2(-\frac{1}{2})+4\cos\frac{x-y}{2}\cos3\frac{x+y}{2} &=&0\\ \cos\frac{x-y}{2}\cos3\frac{x+y}{2} &=&-\frac{1}{2}\\ \cos3\frac{x+y}{2} &=&\mp1\\ \end{eqnarray} así\begin{eqnarray} \cos(x-y) &=& -\frac{1}{2}\\ \cos3\frac{x+y}{2} &=&\mp1 \end{eqnarray} tenemos dos respuesta para cada uno de ellos\begin{eqnarray} x-y &=& \frac{2\pi}{3},~\frac{-\pi}{3}\\ x+y &=& 0,~\frac{2\pi}{3} \end{eqnarray} obtenemos 4 respuesta de estas ecuaciones y luego permutación $(x,y,z)$ de ecuaciones simétrico, nos da 12 respuesta. Finalmente por respuestas de sustitución en las ecuaciones, $x^2+y^2+z^2$ tiene un valor ($\displaystyle\frac{2\pi}{3},\frac{-2\pi}{3},0$), $$\frac{8\pi^2}{9}$ $

Answer 3

Aunque esto es igual a la respuesta del @schrodingersCat que $x\geq y\geq0\geq z$ $$\cos(x+y)^2=1-\sin(x+y)^2$ $$$⇔1-(\sin{x}+\sin{y})^2=(\cos{x}+\cos{y})^2$ $$$⇔1+2(\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y})=0$ $$$⇔\cos(x-y)=-1/2 $ $$$x-y=2\pi/3$ $y $$\sin{x}+\sin{y}=-\sin{z}$ $$$⇔\sin(y+2\pi/3)+\sin{y}=\sqrt3/2$ $$$⇔(1/2)\sin{y}+\sqrt3/2\cos{y}=\sqrt3/2$ $$$⇔\sin(y+\pi/3)=\sqrt3/2$ $

entonces obtenemos $$x=2\pi/3 ,y=0,z=-2\pi/3$$, if angle(x,y,z) are points of unit circle, they consist of the regular triangle. The answer of $x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2$ es único y, $$\displaystyle x^2+y^2+z^2=\frac{8\pi^2}9 $ $

Answer 4

PISTA.-$$\begin{cases}\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}=0\\\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}=0\end{cases}\iff\begin{cases}2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}=-\sin z\\2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}=-\cos z\end{cases}\Rightarrow \tan\frac{x+y}{2}=\tan z$ $ por lo tanto, debido a $x,y,z \in [-\pi,\pi]$, $$x+y=2z\iff x+y+z=3z\Rightarrow \color{red}{z=0 \text{ and }x+y=0}$ $ nota.-obviamente podemos elegir cualquier % en lugar de $z$ $x$y $y$ a ser cero. Así $$\color{red}{x^2+y^2+z^2=2t^2}$$ where $(x,y,z) = (t,-t, 0) $ and with $t\in [-\pi,\pi]$.