Resolución inversa Laplace transforman con theroem de la convolución.

Question

Ok, así que he descubierto recientemente una transformación que se produce.

$$x\left( s \right) = \frac{\pi }{2}\frac{{\log s}}{{{s^2} - 1}}$$

Sin embargo, la función fue dado en una integral de la forma paramétrica por lo que para llamar, (es decir, un integral en función de un parámetro) quiero expresar la integral en forma cerrada mediante la transformación inversa. Desde que he probado

$$\mathcal{L}\left( {\log t} \right)\left( s \right) = - \frac{{\gamma + \log s}}{s}$$ where $\gamma$ es la constante de Euler. Me escribió lo siguiente:

$$x\left( s \right) = \frac{\pi }{2}\frac{s}{{{s^2} - 1}}\frac{{\gamma + \log s}}{s} - \frac{\pi }{2}\frac{\gamma }{{{s^2} - 1}}$$

Por lo tanto, teniendo la inversa de Laplace produce

$$x\left( s \right) = - \frac{\pi }{2}\cosh t * \log t - \frac{\pi }{2}\gamma \sinh t$$

Donde $ * $ denota la convolución. Supongo que me puede resolver la convolución mediante la división del coseno hiperbólico en exponenciales, pero me gustaría saber si alguien me puede dar una buena recta hacia adelante método para resolver esto. Gracias de antemano.

Answer 1

Por desgracia, la convolución de arriba no puede resolver directamente ya que contiene algunas integrales divergentes, por lo que debe tener en cuenta en este enfoque en su lugar.

Con el resultado de http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/inttrans/LapInv7.pdf,

$\mathcal{L}^{-1}_{s\to t}\left\{\dfrac{\pi}{2}\dfrac{\log s}{s^2-1}\right\}$

$=\mathcal{L}^{-1}_{s\to t}\left\{\dfrac{\pi}{2}\dfrac{\log s}{s^2\left(1-\dfrac{1}{s^2}\right)}\right\}$

$=\mathcal{L}^{-1}_{s\to t}\left\{\dfrac{\pi}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\log s}{s^{2n+2}}\right\}$

$=\dfrac{\pi}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=1}^{2n+1}\dfrac{t^{2n+1}}{(2n+1)!k}-\dfrac{\pi}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{t^{2n+1}(\gamma+\log t)}{(2n+1)!}$

$=\dfrac{\pi}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^{2n}\dfrac{t^{2n+1}}{(2n+1)!(k+1)}-\dfrac{\pi(\gamma+\log t)\sinh t}{2}$