Demostrando que la eigenfunctions del laplaciano forman una base del $L^2(\Omega)$ (y de $H_0^1(\Omega)$)

Question

Estoy estudiando las funciones propias y valores propios de la Laplaciano en un dominio acotado $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ homogénea de las condiciones de contorno de Dirichlet. He leído acerca de la débil y la formulación variacional del problema. Entiendo el resultado de que el primer autovalor es dado por: $$ \lambda_1 = \inf_{H_0^1(\Omega)} R = \inf_{v \in H_0^1(\Omega)} \frac{\int_\Omega \| \nabla v\|^2 \, \mathrm{d}x}{\int_\Omega v^2 \, \mathrm{d}x}$$ y el asociado eigenfunction es $u_1$ tal que $R(u_1) = \lambda_1$, así como la caracterización de la enésima autovalor/eigenfunction. He probado algunos de los resultados básicos, tales como el hecho de que la secuencia de los autovalores es ilimitado y funciones propias asociadas a distintos valores propios son ortogonales (en $L^2(\Omega)$$H_0^1(\Omega)$).

Ahora estoy tratando de probar que las funciones propias $u_1,u_2,\ldots$ formulario de una base de $L^2(\Omega)$. He visto algunas pruebas de este hecho (por ejemplo, Jost el libro sobre ecuaciones en derivadas parciales y Mihai Nica del artículo), pero estoy tratando de utilizar un enfoque diferente. Tengo un boceto de esta prueba, pero tengo que completar algunos detalles.

La prueba se sostiene por la contradicción. Definimos $V$ a ser el cierre de la $H_0^1(\Omega)$ de la serie: $$\left\{ u \in H_0^1(\Omega) : \exists \, N \in \mathbb{N}: u = \sum_{n=1}^N\alpha_nu_n\right\},$$ donde $\alpha_n \in \mathbb{R}$ e las $u_n$'s son las funciones propias. A continuación, $V$ es un subespacio cerrado de $H_0^1(\Omega)$. Suponemos, por el bien de la contradicción, que $V \neq H_0^1(\Omega)$.

1) Esto debe implicar que $V^\perp \neq \{0\}$, pero no estoy seguro de por qué. Sé que no es necesario para un subconjunto de un espacio de Hilbert $H$ a ser igual a todo el espacio $H$ para su complemento ortogonal de ser trivial. Sin embargo aquí el espacio es cerrado, así que es posible que esto se puede forzar el complemento ortogonal de ser trivial, pero no estoy seguro de si eso es suficiente.

A continuación, $V^\perp$ es no trivial de la subespacio cerrado de $H_0^1(\Omega)$ y, por tanto, podemos aplicar los mismos métodos utilizados para determinar la existencia de valores propios y funciones propias para deducir la existencia de un eigenfunction $u$$V^\perp$. Entonces puede demostrarse que el autovalor asociado a este eigenfunction debe ser igual a uno de los previamente determinado autovalores (entiendo cómo hacer esto).

2) a Continuación, no estoy seguro de por qué esto nos lleva a una contradicción. Mi conjetura es que, a continuación, esta $u\in V^\perp$ debe ser igual a algunos $u_n \in V$ (es obvio que $V$ contiene todas las $u_n$'s) y esto implicaría que $V\cap V^\perp \neq \varnothing$, lo cual es imposible.

3) Esto podría demostrar que $V = H_0^1(\Omega)$, pero tengo algunas dudas/confusión en cuanto a por qué esto muestra que el $u_n$'s forma una base de $H_0^1(\Omega)$, si lo hacen.

4) a Continuación, no estoy seguro de cómo extender este a $L^2(\Omega)$. Sospecho que el hecho de que $H_0^1(\Omega)$ es denso en $L^2(\Omega)$ debe jugar un papel.

Yo estaría muy agradecido por cualquier ayuda (y/o referencias) en los puntos numerados.

Answer 1

Sé un enfoque diferente, y creo que es más "estándar". Básicamente es suficiente para probar que si $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ está limitada abierta, $(-\Delta)^{-1}$ es un compacto y inyectiva auto-adjunto del operador en $L^2(\Omega)$ y en $H^1_{0}(\Omega)$ y, a continuación, después de que se aplica de Hilbert-Schmidt teorema espectral. Recordando un poco la prueba de Hilbert-Schmidt teorema espectral, creo que lo que pides se encuentra precisamente en la prueba de este teorema. Más precisamente, es el siguiente teorema

"Si $H$ es real (es cierto también en el caso complejo) de Hilbert espacios y $K:H \longrightarrow H$ es un compacto adjunto del operador, entonces existe una base ortonormales de vectores propios $\lbrace u_n \rbrace$ $K$ con autovalores $\lbrace \lambda_n \rbrace$ y tiene la representación

$\displaystyle Kx = \sum_{n \geq 1} \lambda_n (x, u_n)_H u_n$ $(x \in H)$"

Ahora, los hechos que dicen que se aplican en general a elíptica operadores de la divergencia forma, es decir, el tipo de

$\displaystyle Lu:= - \sum_{i,j=1}^n (a_{ij} u_{x_i})_{x_j} + \sum_{i=1}^n (b_i u)_{x_i} +c u$

donde $a_{ij}, b_i, c \in L^\infty(\Omega)$, y se supone que $L$ es uniformemente elíptico. Básicamente el caso de que el operador de Laplace es un caso particular de $L$. Después de presentar las soluciones débiles, suponga $b_i=c=0$, es el siguiente teorema

"Si $a_{ij}=a_{ji} \in L^\infty(\Omega)$, y teniendo en cuenta $L^{-1} : L^2(\Omega) \longrightarrow H^1_{0}(\Omega) \subset L^2(\Omega)$, $L^{-1}$ es un compacto y inyectiva auto-adjunto del operador. Además, hay una base ortonormales $\lbrace \phi_k : k \in \mathbb{N} \rbrace$ $L^2(\Omega)$ de las funciones propias asociados a los autovalores de a $L^{-1}$ y

$\displaystyle L^{-1}f =\sum_{k=1}^\infty \lambda_k (f, \phi_k)_{L^2} \phi_k$

donde $Lu=f$ con $f \in L^2(\Omega)$. En particular,$\lim_{k \rightarrow \infty} \lambda_k =0$".

Toda esta teoría está muy bien explicado en el libro "Notas de la Conferencia en el Análisis Funcional: Con las Aplicaciones Lineales de Ecuaciones Diferenciales Parciales", por A. Bressan.

Answer 2

Este post es demasiado largo para un comentario, así que lo escribo aquí y espero que sea útil.

$1)$ Puede escribir $H^1_0(\Omega)=V\oplus V^{\perp}$ porque $V$ es cerrado (es un hecho general para los conjuntos cerrados en espacios de Hilbert), por lo $V=H^1_0(\Omega)$ fib $V^\perp=\{0\}$.

$2)$ Ahora si $u=u_n$,$u\in V\cap V^\perp=\{0\}$, pero $u_n\neq0$ porque es un autovector.

$3)$ , ${u_n}$ Es una base ortogonal de $H^1_0(\Omega)$ si $u_m\perp u_n$ al $m\neq n$ y si para todos $u\in H^1_0(\Omega)$, $u=\sum \alpha_n u_n$ (fuerte límite).

$4)$ Finalmente, todos los $v\in L^2(\Omega)$ es un (fuerte) límite de elementos $v_n$ $H^1_0(\Omega)$ (por la densidad), por lo tanto : $$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N};\forall n\geq N,\|v-v_n\|<\varepsilon.$$ Escribir $v_n=\sum_k\alpha_{k,n}u_{k,n}$ $\alpha_{k,n}$ algunos de los números reales y $u_{k,n}$ algunos vectores propios a la conclusión.