¿Qué fuerza se refiere a en matemáticas?

Question

Mis profesores siempre están diciendo, "este teorema es fuerte" o "Hay una manera de hacer una versión mucho más fuerte de este resultado" o cosas como esa. En mi mente, un teorema fuerte es capaz de decirle un montón de información importante acerca de algo, pero esto no parece ser lo que quieren decir. ¿Qué es fuerza? ¿Es una idea formal?

Answer 1

Supongamos que tenemos un teorema que dice: "Si $X$,$Y$." Hay dos maneras de fortalecer un teorema:

1. Asume menos. Si usted puede reducir el número de hipótesis, pero todavía llegar a la misma conclusión, luego de haber demostrado ser una más "poderosa" resultado (en el sentido de que se aplica en situaciones más).
2. Probar más. Si usted puede mantener la misma hipótesis, pero añadir más información a la conclusión, luego de haber producido también una más "potente".

Aquí está un ejemplo sencillo de la Geometría.

Deje $ABCD$ ser (no cuadrados) rectángulo. A continuación, el interno bisectrices de los ángulos de los vértices se cortan en cuatro puntos de $WXYZ$, que son los vértices de un rectángulo.

(Necesita la condición de que $ABCD$ no es un cuadrado porque si es un cuadrado, a continuación, todos los cuatro bisectrices de los ángulos coinciden en un solo punto.)

Aquí están algunas de las formas de fortalecer el teorema:

1. La hipótesis de "$ABCD$ es un (no cuadrados) rectángulo" puede ser relajado a la más general "$ABCD$ es un (no rómbico) paralelogramo". La conclusión de que $WXYZ$ es un rectángulo aún se mantiene.
2. Alternativamente, usted puede mantener la hipótesis original de que $ABCD$ es un (no cuadrados) rectángulo, y fortalecer a la conclusión de decir que $WXYZ$ no es sólo un rectángulo, pero de una plaza.
3. Habiendo hecho esto, a continuación, puede reforzar la conclusión del teorema incluso más, teniendo en cuenta que la diagonal del cuadrado $WXYZ$ es igual en longitud a la diferencia de las longitudes de los lados de $ABCD$.
4. Una vez que usted sabe que, ahora pueden fortalecer el teorema aún más por (finalmente) la eliminación de la hipótesis de que la $ABCD$ no es cuadrado, y en particular el caso en el que los cuatro bisectrices de los ángulos coinciden en un único punto, como la formación de un "degenerado" en la plaza con una diagonal de longitud cero.

Answer 2

Reclamaciones se dicen que son más fuertes o más débiles, dependiendo de la cantidad de información que puede implicar de la reclamación. Por ejemplo, si el $x$ es una solución positiva de la ecuación de $x^2 = 2$, entonces el % de demanda $x > 0$es más débil que $x > 1$ (el segundo es más preciso).

A veces intentamos que estas implicaciones más fuerte posible. Por ejemplo, $1$ es el límite entero más fuerte en tal un $x$.

Answer 3

En la lógica, diciendo que $\text{statement }x\text{ is stronger than statement }y$, es equivalente a decir:

$$[\text{statement }x\text{ implies statement }y]\text{ but [statement }y\text{ does not imply statement }x]$$

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Por ejemplo, supongamos que conjeturar las siguientes afirmaciones sobre un conjunto de $S$:

• Conjetura de $x$: todos los elementos en $S$ son divisibles por $4$
• Conjetura de $y$: todos los elementos en $S$ son divisibles por $2$

Es obvio que conjetura es más fuerte que conjetura $x$ $y$.

Answer 4

En realidad, hay teoremas de la probabilidad de que el uso de los "fuertes" y "débiles" en sus nombres, por ejemplo:

1. La Ley de los Grandes Números. El Fuerte de la Ley de los Grandes Números, en realidad, implica la Débil Ley de los Grandes Números.
2. El Teorema del Límite Central (CLT). Yo no la puede encontrar en línea en el momento, pero en una versión (la "fortaleza" de la versión) requiere que las variables aleatorias son iid y han finito media y la varianza. El "débil" de la versión requiere que el MGFs de las variables aleatorias iid existe, pero esta suposición puede ser relajada para dar el "fuerte" CLT.

El Quid del comentario en este post utiliza "más fuerte", como mi ejemplo 1. A partir de mi comentario anterior: "Generalmente, cuando oigo que el Teorema de B es "más fuerte que el Teorema" en matemáticas, pienso que el Teorema de B utiliza menos estrictos supuestos de Teorema para un resultado similar," mi ejemplo 2 es de este tipo.

Answer 5

En matemáticas me gustaría interpretar "más fuerte" como "más general". De hecho, siendo un resultado muy específico reduce su "poder", ya que no se puede aplicar outsite exactamente ese caso. Por ejemplo, si me muestran que dos continuo de las funciones suman dar otra función continua es "más débil" que muestra que la suma de dos funciones es continua siendo una función continua. Esto porque puedo aplicar el resultado de la primera sólo a las dos funciones que he considerado, mientras que la segunda puede ser aplicado a cualquier genérico par de continuo funciones (incluso si la realidad no se especifica). Todo esto es también la razón de la atención en no perder de generalidad cuando tratamos de probar algunos de los resultados.