¿Cómo probar $(1 + \frac{1}{n})^n < n$ por inducción matemática?

Question

$\displaystyle(1 + \frac{1}{n})^n < n$ for $n \gneq 3$

sí $n = 1$ es cierto

Supongo que es cierto para $n = k$ y obtener

$\displaystyle(1+\frac{1}{k})^k < k$

Entonces voy a $\displaystyle(1 +\frac{1}{k+1})^{k+1} < k+1$ y ahora pasan una hora garabatos.

Answer 1

Considerar $$\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\left(1 + \frac{1}{n}\right) < n\left(1 + \frac{1}{n}\right) = n+1$ $ donde la última desigualdad es por la hipótesis de inducción.

Answer 2

En primer lugar, el caso base empieza en $n=4$, no $n=1$, ya que no es verdad $n=1$. Esto es cierto para $n=4$ por cálculo directo.

Asumir así $(1+\frac{1}{k})^k < k$. Entonces $$ \left (1 + \dfrac {1} {k+1} \right) ^ {k+1} = \left(1+\dfrac{1}{k+1}\right)^k\left(1+\dfrac{1}{k+1}\right) < \left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k\left(1+\dfrac{1}{k}\right) $$ desde $1+\dfrac{1}{k+1}\lt 1+\dfrac{1}{k}$. Luego aplicar la hipótesis de inducción.