¿Los límites son aditivos, pero suprema y infima aren ' t?

Question

Me parece curioso que límites tienen la propiedad aditiva, pero suprema sólo subadditive y infima es superadditive solamente. Extrema son límites, ¿por qué es esto así?

Estaba pensando si, para todos uniformemente acotadas funciones definidas sobre el mismo conjunto de medida finita, el supremum tales funciones es aditivo, no sólo subadditive. ¿Es esto cierto? ¿Existen condiciones más generales para funciones donde la suprema y infima son aditivas sobre?

Answer 1

Usted está comparando manzanas con naranjas. Los límites se han tomado las secuencias, mientras que supremum y infimum se definen para los conjuntos. Aquí es donde los conceptos de $\lim\sup $ $\lim\inf$ son las más útiles. Pero en general no tienen plena aditividad para supremum límites y infimum límites en las secuencias de una manera similar a cómo la interferencia en los patrones de ondas pueden ser destructivos o constructivos. Si usted tiene la secuencia: $$1,0,1,0,1,0,1,0,...$$ y la secuencia de $$0,2,0,2,0,2,0,2,...$$ Entonces su suma es: $$1,2,1,2,1,2,1,2,...$$

Porque los "mínimos" de uno de coincidir con los "máximos" de los otros, y si se nota la lim sup y lim inf no son aditivos.

Answer 2

Hay un sentido en que $\limsup$ es un límite. Si $\{a_n\}$ es una secuencia, $$\limsup_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} \left(\sup_{m>n} a_m\right)$ $

Ahora, los límites son aditivos, pero eso sólo significa que:

$$\limsup_{n\to\infty} a_n + \limsup_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \left(\sup_{m>n} a_m + \sup_{m>n} b_m\right)$$

Por desgracia, $$\sup_{m>n} a_m + \sup_{m>n} b_m \neq \sup_{m>n} (a_m+b_m)$ $

en general. Sólo podemos decir:

$$\sup_{m>n} a_m + \sup_{m>n} b_m \geq \sup_{m>n} (a_m+b_m)$$