¿Para qué valores de $x$ hace la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(\ln x)^{\ln n}}$ ¿converger?

Question

Tengo que estudiar los valores de $x$ para lo cual $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(\ln x)^{\ln n}}$$ converge.

Primero decimos que debemos tener $x>0$ . Entonces, he empezado por reescribir la serie como

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^{\ln\ln x\ln n}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\ln\ln x}}.$$

Converge si $\ln\ln x >1$ . Por lo tanto, converge para $x>e^e$ . ¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

Es cierto que $(\ln x)^{\ln n} = n^{\ln \ln x}$ Por lo tanto, debe mantenerse cuando $\ln \ln x > 1$ que sucede, como usted escribió correctamente, cuando $x>e^e$ .