Concatenación de un número contable de homotecias

Question

En la página 15 de Hatcher Topología algebraica discute la construcción de una homotopía $X \times I \to X \times \{0\} \cup A \times I$ , donde $(X,A)$ es un par de CW. Lo hace concatenando homotopías construidas en $X \times [1/2^{n+1}, 1/2^n]$ . Sobre su concatenación, dice

No hay problema con la continuidad de esta retracción de la deformación en $t=0$ ya que es continua en $X^n \times I$ , estando estacionado allí durante el $t$ -intervalo $[0,1/2^{n+1}]$ y los complejos CW tienen la topología débil con respecto a sus esqueletos por lo que un mapa es continuo si su restricción a cada esqueleto es continua.

Sólo trato de entender la lógica de este comentario. ¿Estoy en lo cierto que la idea es que

1. desde $X$ es coherente con respecto a $(X^n)_{n \in \mathbb{Z}^{\geq 0}}$ sabemos que $X \times I$ es coherente con con respecto a $(X^n \times I)_{n \in \mathbb{Z}^{\geq 0}}$ ,

2. Para demostrar (1) basándonos en lo que sabemos hasta ahora en este libro, queremos utilizar que $X$ es un complejo CW y por lo tanto $X \times I$ es un complejo CW,

3. para demostrar (1) utilizamos que la topología del producto y la topología CW en $X \times I$ son iguales, ya que $I$ es un complejo celular finito y entonces tenemos que demostrar que

4. $X \times I$ coherente con respecto a
   $((X \times I)^n)_{n \in \mathbb{Z}^{\geq 0}} \implies X \times I$
   coherente con rexpect to $(X^n \times I)_{n \in \mathbb{Z}^{\geq 0}}$ ,

5. (4) puede demostrarse observando que $(X \times I)^n \subseteq X^n \times I \subseteq (X \times I)^{n+1}$ , de modo que para un conjunto $S \subseteq X \times I$ tenemos $S \cap (X^n \times I)$ abrir en $X^n \times I$ para todos $n$ si $S \cap (X \times I)^n$ está abierto en $(X \times I)^n$ para todos $n$ ?

¿Es esa la lógica que Hatcher quiere que sigamos? ¿O hay una manera más fácil de entender esto para este ejemplo?

Gracias a mi amigo Mike Miller por ayudarme a darle sentido a esto.

Answer 1

Sí, creo que es crucial para la prueba que $I$ es un complejo CW (o al menos tiene buenas propiedades). De hecho, en la categoría de espacios los límites dirigidos no conmutan necesariamente con el producto por un espacio fijo . Y otra forma de decir que $X$ es coherente con su esqueleto es decir que $X$ es el colímite $X = \operatorname{colim}_{n \ge 0} X^n$ . Por lo tanto, en general, no es cierto que un mapa $X \times Y \to Z$ es continua si su restricción en cada $X^n \times Y \to Z$ es; un control más fino (en $Y$ ) es necesario.

Por otra parte, la declaración es verdadero para el complejo CW, por lo que tiene $X \times I = \operatorname{colim}_{n \ge 0} X^n \times I$ Por lo tanto, un mapa $f : X \times I \to Z$ es continua si su restricción a cada $X^n \times I$ es continua. La prueba es como tú dices: la topología del producto en $X \times I$ es la topología CW; el $n$ -esqueleto de $X \times I$ se incluye en $X^n \times I$ ; $f_{| X^n \times I}$ es continua, por lo que su restricción $f_{|(X \times I)^n}$ también lo es. La restricción de $f$ en cada nivel del esqueleto es continua, por lo que $f$ es continua. (Esto demuestra, por cierto, que $X \times I = \operatorname{colim}_{n \ge 0} X^n \times I$ .)

Answer 2

Este es el capítulo 0 de Hatcher - un primer curso de Topología Algebraica - así que esto no debería requerir nada más que Topología de Conjunto de Puntos (digamos Munkres). Él define los complejos CW en la p6, echa un vistazo a punto 3

Su definición inductiva de topología débil consiste en inducir sobre el número de dimensiones $n$ , que es de esperar que sea finito. El procedimiento consiste en comprobar que $A \cap X^n$ está abierto o cerrado para cada $n$ . Esto no requiere ninguna discusión sobre la coherencia y funciona incluso si $n = \infty$ .

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Puntal de lectura 0.16 el bloque de construcción medio es la homotopía $ D^n \times I \to D^n \times \{ 0\} \cup \partial D^n \times I $ . Para $n=2$ esto deforma el cilindro sólido en un cilindro vacío sin tapa.

Sin duda tiene razón en que cerca de $t = 0$ hay un montón de aplastamiento, y podría intentar cuantificar la cantidad de aplastamiento que hay en un ejemplo. Por ejemplo $X =\mathbb{R}P^\infty$ con un subconjunto adecuado $A$ . Este mapa no es ciertamente Lipschitz o Hölder continua.

Ninguno de estos resultados muestra cómo escribir equivalencias de homotopía explícitas, por ejemplo $8 \rightleftharpoons \theta$