Ax=b, de la resolución de problema

Question

Puedes por favor decirme como solucionar esto: Ax=b

$$A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -8 & 4 & 1\\ 4 & 10 &-16 & 8 &-8\\ -4 & -12 & 17 & -8 & 20\\ -2 & -10 & 10 & -3 & 34 \end{pmatrix}$$

$$b=\begin{pmatrix}-33\\-36\\4\\-62\end{pmatrix}$$

Tengo que dar las fundamentales y soluciones particulares.

He intentado así:

Pero no sé si es correcto y qué hacer a continuación ... Por favor, ayúdame! Gracias.

Answer 1

La primera cosa a notar es que las cuatro ecuaciones de cinco variables-esto significa que usted tendrá un número infinito de soluciones o cero soluciones. En el caso de un número infinito, se puede resolver para el conjunto de las soluciones en términos de un parámetro.

La forma más fácil de hacer esto a mano es reducir la matriz ampliada $\left( A | b\right)$ a la reducción de la fila-forma escalonada. Esto significa proceder con la eliminación Gaussiana hasta que se alcanza la forma $$ \left( \begin{array}{cccccc} 1 && 0 && 0 && 0 && \star && \star\\ 0 && 1 && 0 && 0 && \star && \star \\ 0 && 0 && 1 && 0 && \star && \star\\ 0 && 0 && 0 && 1 && \star && \star \end{array} \right) $$

donde $\star$ es de algún valor desconocido.

Por su matriz, esto se traduce en $$ \left( \begin{array}{cccccc} 1 && 0 && 0 && 0 && 16.5 && -52.5\\ 0 && 1 && 0 && 0 && -5 && 15\\ 0 && 0 && 1 && 0 && 2 && -2\\ 0 && 0 && 0 && 1 && 1 && -1 \end{array} \right) $$

Así, vemos que $$ \begin{align*} x_1 + 16.5x_5 &= -52.5 \\ x_2 - 5 x_5 &= 15 \\ x_3 + 2 x_5 &= -2 \\ x_4 + x_5 &= -1 \end{align*} $$

que supongo que es el "general" de la solución. Para una solución particular sólo puede elegir cualquier $x_5$ y resolver para el resto de las variables.

Answer 2

$$\left(\begin{array}{ccccc|c}2&4&-8&4&1&-33\\ 4&10&-16&8&-8&-36\\ -4&-12&17&-8&20&4\\-2&-10&10&-3&34&-62\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc|c}2&4&-8&4&1&-33\\0&2&0&0&-10&30\\ 0&-2&1&0&12&-32\\0&-6&2&1&35&-95\end{array}\right)\to$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c}2&4&-8&4&1&-33\\0&1&0&0&-5&15\\ 0&0&1&0&2&-2\\0&0&2&1&5&-5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc|c}2&4&-8&4&1&-33\\0&1&0&0&-5&15\\ 0&0&1&0&2&-2\\0&0&0&1&1&-9\end{array}\right)\to$$

$$\left(\begin{array}{ccccc|c}2&0&0&0&33&-73\\0&1&0&0&-5&15\\ 0&0&1&0&2&-2\\0&0&0&1&1&-9\end{array}\right)$$ So your general solution is $(-\frac{73}{2},15,-2,-9,0)+x(-\frac{33}{2},5,-2,-1,1)$. Choosing a particular value of $x$ (e.g., $x=0$) obtendrá una solución particular.