¿Lo inútil la secuencia de Mayer-Vietoris se puede en general?

Question

En una topología algebraica curso que estoy tomando a menudo nos preguntan para el cálculo de la homología de grupos de un espacio de $X = A \cup B$ con el de Mayer-Vietoris secuencia, y sucede en todos los ejemplos que he visto hasta ahora de que es posible hacer esto sin saber nada acerca de la conexión de homomorphisms $\partial_{\ast}$ (es decir en el nivel de las cadenas), que sólo terminan necesitando $H_{\ast}(A), H_{\ast}(B), H_{\ast}(A \cap B)$ y, posiblemente, algunos de la inclusión de mapas.

Mi conjetura es que esto no es una situación típica; hay una relativamente simple ejemplo de un buen espacio de $X$ y agradable subespacios $A, B$ tal que saber $H_{\ast}(A), H_{\ast}(B), H_{\ast}(A \cap B)$ no es suficiente para calcular los $H_{\ast}(X)$ sin conocer la forma específica de la conexión homomorphisms? (Para la máxima relevancia para el curso de $X, A, B, A \cap B$ debe ser finito simplicial complejos.)

Answer 1

Dada una larga secuencia exacta

$$ \cdots \to C_{i+1} \to A_i \to B_i \to C_i \to A_{i-1} \to \cdots $$

deje que el mapa de $A_i \to B_i$ denotarse $f_i$. Entonces usted tiene que $C_i$ es una extensión

$$ 0 \to coker(f_i) \to C_i \to ker(f_{i-1}) \to 0$$

así hasta que el problema con la extensión, los mapas de $f_i$ siempre determinar el $C_i$ grupos. Así que si usted quiere una situación en la que el grupo $C_i$ es ambiguo, podría tener $ker(f_{i-1}) = \mathbb Z_2$$coker(f_i) = \mathbb Z$, de esa manera $C_i$ podría ser $\mathbb Z$ o $\mathbb Z \oplus \mathbb Z_2$.

Independientemente, la conexión de mapa de $\partial_i : C_i \to A_{i-1}$ es determinado por este problema con la extensión, y es bastante fácil de cocinar ejemplos -.

Así que estoy un poco confundido en cuanto a la naturaleza de su pregunta. Supongo que lo que estoy diciendo es que están en la situación típica, y Grigory el ejemplo es un caso típico en que se trata de la inclusión del mapa que hace que las diferencias entre sus ejemplos.

Con respecto a lo útil/inútil, el MVS es un problema típico, realmente depende de cómo de fácil se pueden expresar su espacio es como una unión de espacios de entender (y de sus intersecciones). Si el espacio no se ajuste a ese perfil, tiene potencialmente un montón de trabajo que hacer. La Serre Espectral de la Secuencia de un Fibration es en un sentido algo de una trucado de Mayer-Vietoris secuencia, y hay un montón de papeles donde la gente es feliz sólo de computación de la $E_3$página, o determinar que la página de la SS se derrumba, o el cálculo diferencial. Estos temas de extensión tienden a ser muy difícil y consume gran parte de la literatura.

Answer 2

Conociendo sólo el $H(A)$, $H(B)$% y $H(A\cap B)$ no es suficiente, por supuesto. Por ejemplo, tomando el $A=B=S^1\times D^2$ y pegar $S^1\times S^1=A\cap B$ uno pueden obtener o $X_1=S^2\times S^1$ o $X_2=S^3$. Esto da dos secuencias de Mayer-Vietoris con idéntico $H(A)$, $H(B)$ y $H(A\cap B)$ pero diferentes h (x).

En cuanto a la situación donde uno sabe también mapas de inclusión, ver excelente de Ryan Budney respuesta.