Podemos reducir el teorema de Chevalley en la proposición declaró en el ejercicio por varios pasos.
Para ello, necesitamos algunos lemas.
La notación
Deje $X$ ser un esquema.
Se denota el anillo de global secciones de la estructura de la gavilla $\mathcal{O}_X$$X$$\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$.
Por el abuso de notatation, nos escriben a menudo $\Gamma(X)$ en lugar de $\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$
si no hay riesgo de ambigüedad.
Lema 1
Deje $f\colon X \rightarrow Y$ ser una de morfismos de esquemas.
Supongamos $f$ es una de morfismos de finito tipo y $Y$ es un noetherian esquema.
A continuación, $X$ es un noetherian esquema.
Prueba:
Deje $x$ ser un punto de $X$.
Desde $f$ es finito tipo, existe una afín a abrir vecindario $U$ $x$
y una afín a abrir vecindario $V$ $f(x)$ tal que $f(U) \subset V$
y la inducida por el anillo mapa de $\Gamma(V) \rightarrow \Gamma(U)$ es finito tipo.
Desde $Y$ es un noetherian esquema, $\Gamma(V)$ es noetherian(Hartshorne II, Proposición 3.2).
Desde $\Gamma(V) \rightarrow \Gamma(U)$ es finito tipo, $\Gamma(U)$ es noetherian.
Por lo tanto $X$ es un local noetherian esquema.
Desde $f$ es cuasi-compacto y $Y$ es cuasi-compacto, $X$ es cuasi-compacto.
Por lo tanto $X$ es un noetherian esquema.
QED
Lema 2
Deje $X$ ser un noetherian esquema.
Deje $U$ ser un subconjunto de a $X$.
Luego de la inyección canónica $f\colon U \rightarrow X$ es una de morfismos de finito tipo.
Prueba:
Está claro que $f$ es localmente finitos tipo.
Desde $X$ es noetherian, cada subconjunto de $X$ es cuasi-compacto.
Por lo tanto $f$ es cuasi-compacto.
Por lo tanto, $f$ es finito tipo.
QED
Lema 3
Deje $Z$ ser un cerrado subscheme de un esquema de $X$.
Luego de la inyección canónica $f\colon Z \rightarrow X$ es una de morfismos de finito tipo.
Prueba:
Deje $V$ libre afín subconjunto $X$.
Deje $A = \Gamma(V, \mathcal{O}_X)$.
Luego la cerró subscheme $Z \cap V$ $V$ es isomorfo a las Especificaciones($A/I$)
para algunos ideales $I$$A$. Por lo tanto $f$ es localmente finitos tipo.
Desde la Especificación($A/I$) es cuasi-compacto, $f$ es cuasi-compacto.
Por lo tanto $f$ es finito tipo.
QED
Lema 4
Deje $X$ ser un noetherian esquema.
Deje $Z$ ser un subscheme de $X$.
Luego de la inyección canónica $f\colon Z \rightarrow X$ es una de morfismos de finito tipo.
Prueba:
Existe un abierto subscheme $U$ $X$ tal que $Z$ es un cerrado subscheme de $U$.
Deje $h\colon Z \rightarrow U$ $g\colon U \rightarrow X$ ser canónica de las inyecciones.
Por el Lema 2, $g$ es finito tipo.
Por el Lema 3, $h$ es finito tipo.
Por lo tanto $f = g\circ h$ es finito tipo.
QED
Lema 5
Deje $(X_i)$ ser finito, de la familia de los esquemas de finito tipo a través de un esquema de $S$.
A continuación, el subproducto $\sqcup X_i$ es finito tipo más de $S$.
Prueba:
Claro.
Definición
Deje $X$ ser un espacio topológico.
Una unión finita de cerrado subconjunto de $X$ se llama cuasi-edificable.
Si $X$ es un noetherian espacio topológico, un cuasi-edificable subconjunto de $X$ se llama
edificable.
Lema 6
Deje $X$ ser un espacio topológico.
Deje $W$ ser un local cerrado subconjunto de $X$.
Deje $Z$ ser un subconjunto de a $Z$.
A continuación, $Z$ es un subconjunto cerrado de $X$ si y sólo si es un subconjunto cerrado de $W$.
Prueba:
Supongamos $Z$ es un subconjunto cerrado de $X$.
Existe un subconjunto abierto $U$ $X$ y un subconjunto cerrado $F$ $X$ tal que $Z = U \cap F$.
Desde $Z = Z \cap W = U \cap F \cap W$, $Z$ es un local cerrado subconjunto de $W$.
Por el contrario supongamos $Z$ es un subconjunto cerrado de $W$.
Existe un subconjunto abierto $U$ $X$ y un subconjunto cerrado $F$ $X$ tal que $Z = U \cap F \cap W$. Por lo tanto $Z$ es un subconjunto cerrado de $X$.
Lema 7
Deje $X$ ser un espacio topológico.
Deje $W$ ser un local cerrado subconjunto de $X$.
Deje $Z$ ser un subconjunto de a $W$.
A continuación, $Z$ es un cuasi-edificable subconjunto de $X$ si y sólo si es un cuasi-edificable subconjunto de $W$.
Prueba:
De esta manera se sigue inmediatamente del Lema 6.
Lema 8
Deje $X$ ser un espacio topológico.
Deje $(W_i)$ ser finito, cubierta de $X$.
Supongamos que cada una de las $W_i$ es un subconjunto cerrado de $X$.
Deje $Z$ un subconjunto de a $X$.
A continuación, $Z$ es un cuasi-edificable subconjunto de $X$ si y sólo $Z \cap W_i$ es un cuasi-edificable subconjunto de $W_i$ por cada $i$.
Prueba:
Esto se sigue inmediatamente de $Z = \bigcup_i (Z \cap W_i)$ y el Lema 7.
Lema 9
Deje $f\colon X \rightarrow Y$ ser una de morfismos de afín esquemas.
Entonces existe un cerrado subscheme $Z$ $Y$ y un morfismos $g\colon X \rightarrow Z$
tal que $f = j\circ g$ $g(X)$ es denso en $Z$,
donde $j\colon Z \rightarrow X$ es la canónica de morfismos.
Por otra parte, si $f$ es finito tipo, $g$ es finito tipo.
Prueba:
Supongamos $X =$ Spec$(B)$, $Y =$ Espec$(A)$.
Deje $\psi\colon A \rightarrow B$ ser un homomoprphism que induce $f$.
Deje $I$ ser el núcleo de $\psi$.
A continuación, $C = \psi(A)$ es canónicamente isomorfo a $A/I$.
$\psi$ factores $A \rightarrow C \rightarrow B$ donde $C \rightarrow B$ es la canónica de la inyección.
Si $B$ es de tipo finito $A$, $B$ es de finitye $C$.
Dejando $Z =$ Espec$(C)$ hemos terminado.
QED
Vamos a reducir el teorema en varios pasos.
Paso 1.
Podemos suponer $Z = X$.
Prueba:
Deje $Z = (U_1 \cap F_1)\cup \cdots \cup (U_n \cap F_n)$ donde $U_i$ es un subconjunto abierto de $X$ $F_i$ es un subconjunto cerrado de $X$.
Deje $Z_i = U_i\cap F_i$ por cada $i$.
Consideramos que cada una de las $Z_i$ como una reducción cerrada subscheme de $U_i$.
Por el Lema 4, de la canónica de morfismos $Z_i \rightarrow X$ es finito tipo.
Deje $Z' = \sqcup Z_i$ ser un subproducto de esquemas.
Deje $g\colon Z' \rightarrow X$ ser la canónica de morfismos.
Por el Lema 5, $g$ es finito tipo.
Desde $g(Z') = Z$, $fg(Z') = f(Z)$.
Desde $fg$ es finito tipo, podemos reemplazar$f$$fg$.
Paso 2.
Podemos suponer $Y$ es afín.
Prueba:
Deje $(V_i)$ ser un número finito de abiertos afín cubierta de $Y$.
Por el Lema 8, $f(X)$ es edificable en $Y$ si $f(X) \cap V_i$ es edificable en $V_i$ todos los $i$.
Deje $f_i\colon f^{-1}(V_i) \rightarrow V_i$ ser la restricción de $f$.
A continuación,$f_i(f^{-1}(V_i)) = f(X) \cap V_i$.
Claramente $f_i$ es finito tipo.
Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $f_i(f^{-1}(V_i))$ es edificable en $V_i$ para cada i.
Paso 3.
Podemos suponer $X$ es afín.
Prueba:
Deje $(U_i)$ ser un número finito de abiertos afín cubierta de $X$.
Deje $g_i\colon U_i \rightarrow X$ ser la canónica ingection para cada una de las $i$.
Deje $f_i = f\circ g_i$.
Desde $X$ es un noetherian sistema por el Lema 1, $g_i$ es finito tipo por Lema 2.
Desde $f$ es finito tipo, $f_i$ es finito tipo.
Desde $f(X) = \bigcup f_i(U_i)$, es suficiente para demostrar $f_i(U_i)$ es edificable en $Y$ por cada $i$.
Paso 4.
Podemos suponer $Y$ es irreductible.
Prueba:
Deje $Y_1,\dots,Y_m$ ser irreductible componentes de $Y$.
Por el Lema 8, es suficiente para demostrar $f(X) \cap Y_i$ es edificable en $Y_i$ por cada $i$.
Consideramos que $Y_i$ como una reducción cerrada subscheme de $Y$.
Deje $f_i\colon X\times_Y Y_i \rightarrow Y_i$ ser la canónica de morfismos.
Desde $f$ es finito tipo, $f_i$ es finito tipo.
Desde $f(X) \cap Y_i = f_i(f^{-1}(Y_i))$$f^{-1}(Y_i) = X\times_Y Y_i$, podemos reemplazar$f$$f_i$.
Paso 5.
Podemos suponer $X$ es irreductible.
Prueba:
Deje $X_1,\dots,X_n$ ser irreductible componentes de $X$.
Desde $f(X) = \bigcup f(X_i)$, es suficiente para demostrar $f(X_i)$ es edificable en $Y$ por cada $i$.
Consideramos que cada una de las $X_i$ como una reducción cerrada subscheme de $X$.
Deje $g_i\colon X_i \rightarrow X$ ser la canónica de morfismos.
Desde $g_i$ es finito tipo por el Lema 3, $fg_i$ es finito tipo.
Por lo tanto podemos sustituir$f$$f_i = fg_i$.
Paso 6.
Podemos suponer $f$ es dominante.
Prueba:
Por el Lema 9, existe una cerrada subscheme $Z$ $Y$ y un morfismos $g\colon X \rightarrow Z$
finito de tipo tal que $f = j\circ g$ $g(X)$ es denso en $Z$,
donde $j\colon Z \rightarrow X$ es la canónica de morfismos.
Por el Lema 7, si $f(X)$ es edificable en $Z$, $f(X)$ es edificable en $Y$.
Por lo tanto podemos sustituir$f$$g$.
Paso 7.
Podemos suponer $X$ $Y$ integral.
Prueba:
Podemos reemplazar$f$$f_{red}\colon X_{red} \rightarrow Y_{red}$.
