¿Por qué se nos permitió dividir por $\psi$ al $\psi=0$?

Question

Cuando Griffiths se deriva el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger que divide ambos lados de la ecuación de Schrödinger por $\psi$. Creo que ésta es una suposición tácita de que $\psi\neq0$ cuando se tiene la intención de resolver el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger para $\psi$.

Más tarde, a la hora de resolver el infinito de la plaza, una de las condiciones de contorno se supone $\psi(0)=\psi(a)=0$.

Yo diría que si asumimos $\psi=0$ cualquier lugar en el dominio en el que tenemos la intención de resolver para psi, entonces no podemos usar un tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger que ha sido derivado por el supuesto de $\psi\neq0$.

Y en el caso de la infinita plaza bien, las soluciones que claramente tienen valores cero en el dominio $0\leq x\leq a$: $$\psi_n(x)= \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi}{a} x\right) \;.$$

Me pregunto si la derivación del tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger en realidad no dependen de la división por $\psi$, pero que Griffiths utiliza un perezoso truco para que el lector sea más fácil ver, leer, o seguir la derivación a la final de la ecuación.

Así que, ¿por qué se nos permitió dividir por $\psi$ al $\psi=0$?

Answer 1

Este es un estándar "problema" cuando uno resuelve la ecuación diferencial con una separación de variables. Para ser rigurosos, el caso de $\psi=0$ debe ser tratado por separado. Sin embargo, se puede comprobar que $\psi''=0$ al$\psi=0$, $\psi''/\psi$ se porta bien ahí, por lo que son, de hecho, permitió dividir por $\psi$ en todo el intervalo.

Pero no dicen que para un matemático.

Answer 2

Resto para hacer el argumento más fácil de entender para aquellos que no tienen Griffith en la mano. Él separa a $t$ $x$ (página 20)

$$\Psi(x,t)=\psi(x)f(t) \tag{2.1}$$

entonces la ecuación de Schrödinger se convierte en

$$i\hbar\, \psi\frac{df}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}\,f+V\psi\, f$$

y, a continuación, divide ambos lados por $\psi\, f$.

El matemáticamente rigurosa manera de hacer este tipo de cosas es el postulado de que $\psi(x)$ no es cero por lo menos un $x$, entonces a partir de la $\psi$ se supone que ser continua, es distinto de cero en algún intervalo abierto $]x_1, x_2[$. En ese intervalo, entonces podemos dividir por $\psi(x)$ y resolver la ecuación diferencial. Entonces, podemos hacer que el intervalo tan grande como sea posible, y que puede terminar hasta que $\lim_{x->x_2^-}\psi(x)=0$ entonces. El razonamiento es aún totalmente riguroso en $]x_1, x_2[$. Pero, por lo general, lo que va a suceder es doble

• a la derecha de $x_2$, tenemos otro intervalo de $]x_2, x_3[$ que $\psi(x)$ es distinto de cero. Así que ahora podemos poner las dos piezas juntas: $\psi$ está definido por todas partes, pero en $x_2$; y
• $\lim_{x->x_2^+} \psi(x)=0=\lim_{x->x_2^-}\psi(x)$, por lo que podemos definir $\psi(x_2)$ a 0 por la continuidad.

Los problemas aparecen cuando la última condición en el límite de la izquierda y de la derecha no se sostiene.