La motivación para el aprendizaje fundamental de los grupos y cubriendo los espacios

Question

Estoy a punto de dar un seminario de presentación en un seminario de álgebra (nivel de pregrado) sobre el Hopf fibration $SU(2) \longrightarrow SO(3)$ para el cual voy a utilizar una expresión algebraica-topológico de enfoque utilizando el más representaciones topológicas $SU(2) \cong S^3$$SO(3) \cong \mathbb{R}P^3$. Para esto, quiero introducir los conceptos de universal revestimientos y fundamental de los grupos.

Mi pregunta ahora es, ¿cómo puedo dar un poco de motivación para las matemáticas-estudiantes (especialmente los posibles 'sólo' interesado en Álgebra) para aprender acerca de fundamental grupos/universal cubiertas? Para mí, es sólo un concepto interesante, pero que no es muy convincente, supongo...
Por lo tanto:

¿Cuáles son las buenas razones para aprender acerca de los grupos fundamentales (y universal cubiertas?) cuando eres un estudiante de pregrado, (posiblemente en su mayoría), interesadas en Álgebra y no necesariamente interesados en la topología algebraica?

Answer 1

Una de las motivaciones para un álgebra de seminario es mostrar que hay buenas razones para aprender acerca de los grupos. Muchos alumnos creen que los grupos son sólo un resumen de la estructura. Sin embargo, los grupos surgir en muchos otros lugares interesantes, como la simetría de los grupos en la geometría y la física, grupos de Galois en el campo de la teoría y de la teoría de números, grupos fundamentales en la topología y la geometría, la permutación de grupos en la combinatoria y la teoría de la representación, y muchas otras áreas.
Hay también buenas razones para aprender acerca de los grupos fundamentales. Por ejemplo, ciertos compacto colectores se clasifican por su fundamental grupos, a saber compacto de Riemann-plana de los colectores. Así que el grupo fundamental de "lo dice todo" aquí.

Answer 2

Desde @DietrichBurde la respuesta, estoy suponiendo que (también) que la pregunta original es sobre el valor de la teoría de grupos a los interesados en el álgebra, y de hecho, las aplicaciones de la teoría de grupos en matemáticas que los estados son excelentes.

Mi propio enfoque de la enseñanza de las matemáticas-y especialmente en la física en el nivel de licenciatura es un poco diferente. Yo trate de comenzar con algo que los estudiantes ya saben, están ya interesados en, a continuación, mostrar lo que ellos no saben acerca de este tema, y mostrar cómo la disciplina antes de que ellos autoricen para responder a esas preguntas. En pocas palabras, tratar de explotar a los estudiantes la curiosidad innata más que algunos "carrera" de utilidad.

Como antecedentes: En mi introductorio óptica de las clases I proyecto de una fotografía de un hermoso arco iris doble, que los estudiantes de todo el amor y creo que entender y preguntar:

• "¿Cómo un arco iris surgir?"
• "¿Por qué este orden de colores (rojo en el exterior, azul en el interior)?"
• "¿Por qué no puede usted llegar cerca de un arco iris?"
• "¿Por qué es un arco iris siempre este tamaño, nunca más, nunca más pequeños?"
• "¿Por qué es el más grande (secundaria) arco iris más lejos?"
• "¿Por qué los colores de la secundaria en el orden opuesto?"
• "¿Por qué es el ancho de la banda en la secundaria arco iris más grande que en uno de los principales que?"
• "¿Por qué es la amplia gama de cielo entre el arco iris ('Alejandro banda oscura') más oscuro que el resto del cielo?"
• "¿Por qué el arco iris se mueva a la izquierda o a la derecha cuando vas a hacer?"
• "Lo que hace que el pastel anillos de colores solo para el interior del arco iris?"

Y yo no conteste estas preguntas en la primera clase. Digo yo, en cambio, "En esta clase vamos a estudiar la óptica de manera que pueda responder a todas estas preguntas. Leer el Capítulo 1 de su texto. Vemos el lunes".

Así que para la teoría de grupo, me gustaría venir a clase con un cubo de Rubik, y hacer las siguientes preguntas:

• "Cómo muchas configuraciones diferentes?"
• "Nótese que se puede girar el cubo y la configuración es (de hecho) sin cambios. De cuántas maneras puedo girar y obtener un 'sin cambios' cubo? (Llamamos a estas simetrías.)"
• "¿Qué es la "más complicada" codificación de el cubo?
• "¿Qué revueltos estado toma la mayoría de los pasos para 'arreglar'?"
• "Si puedo realizar esta rotación (a), luego de que la rotación (B), obtenemos un resultado diferente de la realización de la primera B, entonces A. ¿por Qué?"

Entonces yo, sin palabras, sólo tienen un $4 \times 4 \times 4$ cubo de Rubik. A continuación, una $5 \times 5 \times 5$ cubo.

Y me gustaría que la no respuesta a alguna de estas preguntas (en la primera clase).

Me gustaría finalizar la clase con: "La rama de las matemáticas que le permitirá responder a estas preguntas es la teoría de grupos. Leer el Capítulo 1 de su texto. Vemos el lunes".