Una L bloque de 3 bloques de alto y 2 de la unidad de los bloques de ancho . Es cierto que si un n por m rectángulo puede ser cubierto por L bloques con superposición de que sería necesario una cantidad de L manzanas, ¿por qué?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
rrirower
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Esto se puede solucionar de un plumazo, con un solo colorante.
El área total del rectángulo es incluso (y hasta un múltiplo de 4). A continuación, podemos suponer sin pérdida de generalidad que el ancho es aún. Ahora vamos a pintar todas las celdas de la primera columna de negro, en la segunda columna en blanco, en la tercera - negro, y así sucesivamente. Claramente, exactamente la mitad de las células será de color negro, y la otra mitad blanca.
Observe que cada uno de L-bloque tampoco cubre las 3 casillas negras y 1 blanca, o 3 células blancas y 1 negra. En el primer caso, vamos a llamar a este L-bloque de la mayoría negra, en el último - en su mayoría blancos. Es fácil ver que el número de negros L-bloques debe ser el mismo que el número de mayoría blanca, L-bloques, debido a que el total de las cantidades de blanco y negro de las células son iguales el uno al otro. De ello se desprende que el total de la cantidad de L-bloques es aún.
Hagen von Eitzen
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171160
Aplicar un negro-blanco tablero de ajedrez de la coloración a la $n\times m$ rectángulo, que es el color de la plaza de la $i$th fila y $j$ésima columna es determinado por $i+j\bmod 2$. Cada una de las $t$ tetrominoes por cubre dos blancos y dos cuadrados de color negro, por lo tanto, si hay $t$ terominoes, hay $2t$ blanco y $2t$ cuadrados negros. Deje $w$ el número de tetrominoes por tener un blanco de la esquina de la plaza y $b=t-w$ el número de ella con un negro de la esquina de la plaza.
Si asumimos que el $t$ es impar, exactamente uno de $w,b$ debe ser impar. Asumir wlog. que $b$ es impar. Vuelva a pintar los cuadrados en blanco: Si el cuadrado de la $i$th fila y $j$ésima columna es de color blanco y luego pintar los cuadrados de color rojo o azul según th eparity de $i$ (o, equivalentemente: de acuerdo a la paridad de $j$).
Ahora cada una de las $b$ negro de la esquina tetrominoes por cubre dos de negro, uno rojo y uno azul, cuadrado, mientras que cada una de las $w$ originalmente-blanco-esquina tetrominoes por cubre dos negras y dos rojas o dos cuadrados azules. Desde $b$ es impar, el número total de cuadrados rojos (y también de cuadrados azules) es impar.
Cuántos rojo y azul los cuadrados hay en un $n\times m$ rectángulo? Si $n=2k+1$ es impar (y, en consecuencia, $m=4l$ es un múltiplo de a $4$) luego hay $2lk$ plazas de uno de estos dos colores y $2lk+2l$ de los otros - ambos números son incluso, contradicción. Del mismo modo, $m$ no puede ser impar. Por lo $n=2k$ $m=2l$ y por lo tanto no son exactamente $kl$ rojo y azul plazas cada uno.
Deshacer el rojo-azul de la pintura y ahora volver a pintar los cuadrados de color negro en lugar de eso: de verde o de morado de acuerdo a $i\bmod 2$. A continuación, cada una de las $b$ tetrominoes por cubre cero o dos verdes y cero o dos plazas de color púrpura, mientras que cada una de las $w$ tetrominoes por cubre uno verde y uno cuadrado morado. Por lo tanto el número de verde (o púrpura) plazas es incluso sólo como $w$ es. Pero como alreeady visto, $n$ $m$ son incluso. Como el rojo, azul, púrpura, verde, colores de la repetición por $2\times 2$ bloque, el número de rojo, azul, púrpura o verde plazas son todos de la misma contradicción.
