El determinante de una transformación lineal definición de la matriz transpuesta

Question

Así que si defino una transformación lineal $ T: M_{n\times n}(R) \rightarrow M_{n\times n}(R) $ $ T(A)=A^t $ lo que sería su determinante?

Answer 1

El factor determinante es el más fácilmente determinado en una base de vectores propios. Hay $n$ matrices con una sola $1$ en la diagonal, $n(n-1)/2$ matrices con dos $1$s en posiciones simétricas y $n(n-1)/2$ matrices con un $1$ $-1$ en posiciones simétricas. Estos forman una base juntos. La diagonal y simétrica matrices tienen autovalor $1$ bajo la transposición, la antisimétrica matrices tienen autovalor $-1$, por lo que el factor determinante es$(-1)^{n(n-1)/2}$, $+1$ si $n\bmod4$ $0$ o $1$ $-1$ si $2$ o $3$.

Answer 2

Vamos a poner la representación de la matriz con respecto a la norma base de vectores ordenados de una manera especial. El primer $n$$\mathbb{e}_{ii}$$1\le i \le n$. Entonces pareja el resto de las matrices en la transposición de pares. Si se construye la matriz resultante, tendrá un bloque diagonal de la matriz comienzo con una identidad bloque a lo largo de con $\frac{n^2 - n}{2}$ anti-diagonal de bloques de tamaño $2$. De ello se deduce que el factor determinante está dado por $(-1)^{\frac{n^2 - n}{2}}$.

Answer 3

EDIT--- Creo (ahora que lo he visto otras respuestas) este argumento también funciona. Queremos que el determinante de la transformación lineal decir $T$ tal que $vec(A^{T})=Tvec(A)$ ($vec$ operador que escribe de una matriz como una larga vector columna de sabios). Es fácil ver que $vec(A^{T})$ puede ser obtenida mediante la reorganización de las filas de los vectores $vec(A^{T})$. Cada uno de la fila swappings hace que su determinante multplied por (-1). Ahora, ¿cuántos de swappings usted tiene que hacer es la pregunta. Usted tendrá que cambiar todos los elementos debajo de la diagonal principal con otra desde arriba de la diagonal. Así que hay $c=n(n-1)/2$ swappings. Por lo que su determinante es $(-1)^c$.

INTENTO ANTERIOR--(ANTES DE QUE ME ENTIENDE LA PREGUNTA CORRECTAMENTE) Primero de todo, tenga en cuenta que $det(AB)=det(A)det(B)$, ahora appy esta forma recursiva. Usted recibirá $det(A^{t})=(det(A)det(A^{t-1}))=(det(A))^t$