Límite superior de los lineales de primer orden de la ecuación diferencial ordinaria

Question

Dado: $y(x)$ está definido por $x \geq 1$ y satisface $$y'=\frac{1}{x^2+y^2}, y(1)=1$$

Mostrar que $$ y(x) < \frac{5\pi}{4} $$ for all $x \geq 1$

No veo una manera fácil de resolver para $y(x)$, y no sé cómo demostrar que la función es siempre menor que $5\pi/4$ sin problemas para $y(x)$. Alguna sugerencia sobre cómo abordar esto?

Answer 1

Desde $y'(x)\geq 0$ $y(x)\geq 1$ si $x\geq 1$. Esto implica que $$ y'\leq \frac{1}{x^2+1}, $$ o, por integrar, $$ y(x)\leq \bronceado^{-1}x-\frac \pi 4+1\leq 1+\frac \pi 4, $$ que es un poco más aguda de lo que te están pidiendo.

Answer 2

usted puede encontrar la expresión de y, $y(x)-1=\int_{1}^{x}y^{'}dy=\int_{1}^{x}\frac{1}{x^2+y^2}dy=\frac{\pi/4-\arctan\frac{1}{x}}{x},x>=1$