Entero soluciones a $(a_1+a_2+\cdots+a_n)^n=a_1a_2\cdots a_n$?

Question

¿Hay alguna positivo distinto de cero entero soluciones a$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^n=a_1a_2\cdots a_n$$n>1$?

Si le ayuda, no hay soluciones para $n=2$ porque, de lo contrario, si $a_1$ $a_2$ eran tanto extraño, a continuación, $(a_1+a_2)^{2}$ sería aún y $a_1a_2$ sería extraño, y si $a_1$ fueron impar y $a_2$ fueron incluso, o viceversa, a continuación, $(a_1+a_2)^{2}$ sería extraño y $a_1a_2$ sería aún, y si $a_1$ y $a_2$ fueron ambos inclusive, a continuación, $a_1/2$ $a_2/2$ también podría resolver la ecuación de manera que no debería existir una solución con al menos uno de ellos impar.

Answer 1

La respuesta se desprende inmediatamente de AM-GM de la desigualdad. Sabes que $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son positivos. De AM-GM, se sigue que $$ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.$$ i.e. $$ \left( a_1 + a_2 + \cdots + a_n \right)^n \geq n^n \left(a_1a_2\cdots a_n \right).$$ Given that $\a la izquierda( a_1 + a_2 + \cdots + a_n \right)^n = a_1 a_2 \cdots a_n$, we get $a_1 a_2 \cdots a_n \geq n^n a_1 a_2 \cdots a_n$. Hence, we have $n^n \leq 1$. Hence, it is true only when $n=1$.

Answer 2

Alguien podría escribir una respuesta. Esta está basada en la multinomial teorema he enlazado arriba, pero dijo casualmente. Cada vez que una suma de términos es elevado a una potencia (decir $n$), papel de aluminio a una suma de productos de los términos originales, por ejemplo,$(x+y)^2=x\cdot x+2x\cdot y+y\cdot y$. Cada producto puede estar escrito exactamente $n$ términos, cada uno elegido de una copia distinta de la suma. El orden importa: ya que usted puede elegir uno de los $x$ e una $y$ $\{x,y\}$ en dos órdenes diferentes, el producto $xy$ aparece en la expansión de $(x+y)^2$ dos veces.

Generalizando, la suma de $(a_1+a_2+\cdots+a_n)^n$, cuando frustrado, va a contener un producto de la forma $a_1a_2\cdots a_n$. De hecho, contendrá $n!$ copias del producto, ya que cada fin de recoger $a_1,a_2,\dots,a_n$ $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ es una permutación, y hay $n!$ permutaciones de $n$ distintos objetos. Por lo tanto, tenemos $(\sum)^n=n!a_1a_2\cdots a_n+S$ donde $S$ es la suma de todos los productos que salen de la neutralización. Desde cada una de las $a_i$ son positivas por hipótesis, cada producto de la suma de $S$ es positivo, por lo tanto $S>0$, lo que implica la desigualdad estricta $$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^n>n!\cdot a_1a_2\cdots a_n.$$ Esto evita que la igualdad nunca se produzca, números enteros o de otra manera.

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P. S. Si la pregunta es en realidad acerca de $(a_1+a_2a_3\cdots a_n)$, lo cual dudo mucho, entonces que sólo puede hacer que el simple suficiente substition $a=a_1$, $b=a_2a_3\cdots a_n$ y estamos de vuelta en el $n=2$ de los casos.