La solución general de la $x^a = a^x$ real $a >0$

Question

¿Cuáles son las raíces de $$f(x) = x^a - a^x$$ real $a > 0$?

• Caso 1: Para $0 < a < 1$ hay 1 solución, $x=a$.
• Caso 2: Para $1\le a < e$ hay 2 soluciones: $x=a$$[x>a]$.
• Caso 3: Para $a > e$ hay 2 soluciones: $x=a$$[x < a]$.

si dejamos que b = a^(1/a). x = b^^ [uso de mathematica para tetration] o el uso de los operadores básicos, x = b^b^b^...))...)
para un > correo, esto resuelve la no-simple de la raíz < a pero para una < e se resuelve para x = a estoy buscando una solución similar para una < e

Answer 1

Para $a\neq 1$ $x^a=a^x$ es equivalente a $$x=a^{\frac{x}{a}}\\ xa^{-\frac{x}{a}}=1\\ xe^{-\frac{\ln a}{a}\cdot x}=1\\ (-\frac{\ln a}{a}\cdot x)e^{-\frac{\ln a}{a}\cdot x}=-\frac{\ln a}{a}\\ -\frac{\ln a}{a}\cdot x=W(-\frac{\ln a}{a})\\ x=-\frac{aW(-\frac{\ln a}{a})}{\ln a}$$ utilizando la función W de Lambert. Tenga en cuenta que esta función es en realidad varios valores para los argumentos negativos, por lo que incluye tanto la solución trivial $x=a$ y el otro, que no sea trivial. Uno no debe esperar a ser capaz de resolver por $x$ funciones elementales.

Answer 2

Esto es no una respuesta completa, pero un ejemplo que muestra que dos (en algunas circunstancias exactas de las soluciones que realmente existen.

Deje $a := 2$. Entonces $$ \begin{array}{rcrcl} x := 2 &\Rightarrow& x^2 =& 4 &= 2^x, \\ x := 4 &\Rightarrow& x^2 =& 16 &= 2^x. \tag{*} \end{array} $$

Deje $a := 4$. Entonces $$ \begin{array}{rcrcl} x := 2 &\Rightarrow& x^4 =& 16 &= 4^x, \tag{*} \\ x := 4 &\Rightarrow& x^4 =& 256 &= 4^x. \end{array} $$

Las soluciones de (*) se derivan de la simetría en la ecuación. Suponemos que, si hay más ejemplos de este tipo existen, los poderes de $2$ podría jugar un papel.