Sabemos que si le damos a $\mathbb{R}^{2}$ el complejo campo de la estructura, no podemos hacer un pedido de campo. Es allí cualquier campo de una estructura que podemos poner en $\mathbb{R}^{2}$ lo que hace que esta ordenado en el campo? No creo que la hay, pero no sé cómo empezar mi argumento.
Respuesta
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Como se ha mencionado en uno de los comentarios, si desea mantener la estructura de espacio vectorial de $\mathbb{R}^2$, entonces la respuesta es no. La razón es que el$\mathbb{R}^2$, entonces necesariamente tendría que ser una expresión algebraica de extensión de campo de $\mathbb{R}$ grado $2$, por lo que sería de la forma $\mathbb{R}(j) =\{a+bj:a,b\in\mathbb{R}\}$ donde $j$ sería la raíz de un polinomio cuadrático sin raíces reales. Esto automáticamente hace que $\mathbb{R}(j)$ isomorfo a $\mathbb{C}$ (que es la única que no sea trivial algebraicas extensión de $\mathbb{R}$), que no puede ser ordenado por $i^2 = -1 < 0$.
Tenga en cuenta que el trascendental extensión de $\mathbb{R}$ grado $1$, es decir, las funciones racionales con coeficientes reales, puede ser ordenado.
También, si no imponer ninguna condición a todos, $\mathbb{R}^2$ puede ser trivialmente (y muy inútilmente) ordenado por encontrar un bijection $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ y la definición de las operaciones en $\mathbb{R}^2$$a+b = f^{-1}(f(a)+f(b))$$ab = f^{-1}(f(a)f(b))$, así como la definición de $a$ a ser positivo iff $f(a)>0$.
