¿Hay un nombre para la función con el % de propiedad exponencial $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$?

Question

Me preguntaba si hay un nombre para una función que satisface las condiciones

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ and $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$?

Gracias y saludos!

Answer 1

Si $f(x_0)= 0$ algunos $x_0\in\mathbb{R}$, entonces para todos $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=f(x_0+(x-x_0))=f(x_0)\cdot f(x-x_0)=0$. Por lo tanto, cualquiera de las $f$ es idéntica $0$ o nunca $0$. Si $f$ no $0$, entonces es un homomorphism del grupo $\mathbb{R}$ con la adición al grupo $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ con la multiplicación. Si $f(x)<0$ algunos $x$,$f(\frac{x}{2})^2\lt 0$, lo cual es imposible, por lo $f$ es en realidad un homomorphism en los números reales positivos con la multiplicación. Componiendo con el isomorfismo $\log:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f$ puede ser analizado por primera el análisis de todos los aditivos de los mapas en $\mathbb{R}$. Asumir la continuidad, todas estas tienen la forma $x\mapsto cx$ algunos $c\in \mathbb{R}$, y, por tanto,$f(x)=\exp(cx)$. Suponiendo que el axioma de elección, hay discontinuo aditivo funciones en $\mathbb{R}$ que puede ser construido con una base de Hamel para$\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$, y por lo tanto también hay discontinuo homomorphisms de$\mathbb{R}$$(0,\infty)$.

Así, para una respuesta real a la pregunta: Sí, se llama (el cero mapa o) homomorphisms desde el grupo aditivo de los números reales para el grupo multiplicativo de los números reales positivos.

Answer 2

$\log f$ satisface la ecuación funcional de Cauchy.