Donde es $\log(z+z^{-1} -2)$ analítica?

Question

Necesito un poco de ayuda en la determinación de dónde $\log(z+z^{-1} -2)$ es analítica, donde $z$ es un número complejo y $\log(z)=\ln|z|+\arg(z+2k\pi),k\in\mathbb{Z}$. Gracias de avanzada.

Answer 1

$$z+z^{-1}-2=\frac{z^2-2z+1}z=\frac{(z-1)^2}z$$

Si usted quiere "eliminar" la sucursal habitual de corte de la función logarítmica, es decir, el rayo $\,(-\infty,0]\;$ sobre el eje real, entonces debe de ser

$$\frac{(z-1)^2}z\notin (-\infty,0]\iff \text{Re}\left(\frac{(z-1)^2}z\right)>0\;\;\vee\;\;\text{Im}\left(\frac{(z-1)^2}z\right)\ne k\pi\;,\;k\in\Bbb Z$$

Answer 2

Tenemos una composición f(g(z)) de las funciones, con $f(z)=Logz$, e $g(z)=\frac{(z-1)^2}{z}$ así que tenemos g(z) se define en el dominio de $Logz$,$\mathbb C-[0,\infty)$.

Deje $w:=\frac{(z-1)^2}{z}$ .Queremos excluir $w:=\frac{(z-1)^2}{z}$ a partir de la rama cortada $[0,\infty)$. Esto significa que queremos excluir los casos en que:

1)$Im(w)=0$ y

2)$Re(w) \leq 0$

Aviso usamos y (en lugar de o), ya que queremos excluir los puntos que tienen tanto una parte real de menos de $0$ , y una parte imaginaria igual a $0$.

La expansión en w, dejando $z:=(a+ib)$, obtenemos :

3)$w= a^3-2a^2+a-2b^2+ab^2+i(a^2b+b^3-b)$ (he comprobado con Wolfram.)

Aviso hay un bonito factorización para la parte imaginaria de $w$;

4)$i(a^2b+b^3-b)=ib(a^2+b^2-1)$.

Así que, vamos a ver #4 a ver, donde 1),2) son satisfechos:

Desde #4, podemos ver que $Re(w)<0$ si bien:

$I)b=0$

$II)a^2+b^2-1=0$

Vamos a ver el caso de $I$, es decir, vamos a ver qué pasa cuando se $b=0$. Si $b=0$,

el uso de la expresión para $w$ #3 , queremos ver a donde llegamos $b=0$$Re(w)<0$;

si $b=0$,$Re(w)=a^3-2a^2+a$. Vemos que $Rew=a(a-1)^2 \leq 0$ sólo al $a<0$, desde

$(a-1)^2$ es siempre no negativo. Así que tenemos que $Rew \leq 0$ precisamente en $(- \infty,0]$

Así que tenemos que excluir el conjunto :$Imz=0, Rez \leq 0$ , es decir, necesitamos excluir el eje real negativo.

Ahora debemos hacer algo similar para el caso de que $a^2+b^2-1=0$ . Notar que hay

un buen factorización para $Rew$; $Rew=(a^2+b^2)(a-2)+a$ . Esto debería ayudarle a averiguar

¿qué parte de $Rez$ a excluir para este caso donde $a^2+b^2-1=0$ . Se puede terminar?

Answer 3

Demasiado largo para un comentario. El Maple 17 de comandos $$expression := log(z+1/z-2); FunctionAdvisor(branch\_cuts, expression, plot = `2D`) $$ producir