¿No debería esta función ser discontinua en todas partes?

Question

Estaba pensando en la continuidad de un punto y me encontré con esta función. $$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x & \quad x\in \mathbb{Q}\\ 2-x & \quad x\notin \mathbb{Q} \end{array} \right. $$ Sabemos que esta función es continua sólo en $x=1$ . Pero, ¿no contradice eso nuestra idea de continuidad? Una función es continua si somos capaces de dibujar la función sin levantar el lápiz o el bolígrafo. Pero aquí los dos trozos de la función existen en lugares concretos, por lo que tenemos que levantar el lápiz. ¿No debería la función ser discontinua en todas partes? Aunque parece una duda estúpida.

Answer 1

La idea de que "una función es continua si (y sólo si) su gráfica se puede dibujar sin levantar la pluma(cil)" es a veces adecuada para comunicarse con los no matemáticos, pero es técnicamente defectuosa por múltiples razones.

Por comodidad, vamos a llamar a esta "condición" continuidad de la pluma .

En primer lugar, como señalan otras respuestas, una función debe ser continua en un intervalo para tener alguna esperanza de ser pluma continua. Desgraciadamente para la "continuidad de la pluma", hay un par de razones por las que una función puede ser continua (para un matemático, usando la $\varepsilon$ - $\delta$ definición), pero no continua en un intervalo:

• Una función puede ser continua en un solo punto (como la función de tu post), o en cada punto de un conjunto complicado que no contiene ningún intervalo de números reales (como La función de Thomae que es continua en $x$ si y sólo si $x$ es irracional).

• Una función puede ser continua en cada punto de su dominio pero el dominio no es un intervalo (y quizás no contenga ningún intervalo). Piense, por ejemplo, en el ejemplo de ejemplo de Przemysaw Scherwentke $f(x) = 1/x$ pour $x \neq 0$ que es continua en todo su dominio (el conjunto de números reales distintos de cero), o de la función cero definida en un conjunto arbitrario de números reales (que puede ser más desagradable de lo que la mente humana puede comprender).

Así que vamos a centrarnos en las funciones (de valor real) que son continuas en cada punto de un intervalo. Dependiendo de su definición de bolígrafo no todas las funciones continuas son continuas como un bolígrafo (!). Si una "pluma" es un punto matemático, y "dibujar" tiene su significado ordinario ("la pluma puede ser trazada a lo largo de la gráfica en tiempo finito", digamos), entonces la mayoría de las funciones continuas son no pluma continua, porque sus gráficos tienen una longitud infinita en subintervalos arbitrarios (o "no son localmente rectificables", en términos técnicos). (La curva del copo de nieve de Koch no es un gráfico, pero puede ser un ejemplo familiar no rectificable).

Para destacar, una función continua "típica" es no diferenciable en ninguna parte : Su gráfico se parece a un electrocardiograma o al trazado de un sismógrafo o a las curvas que se dibujan después de beber 50 tazas de café expreso. El "zoom" sólo revela detalles a escalas cada vez más pequeñas, picos y valles cuya longitud total (en un subintervalo arbitrariamente corto del dominio) bien puede ser infinita. Sólo las funciones de variación limitada tienen gráficos de longitud finita, y eso es un subconjunto "fino" de todas las funciones continuas.

[Si en cambio se quiere pensar en bolígrafos "reales", cuya punta tiene un radio positivo, se llega a un territorio matemáticamente interesante, que incluye Medida de Hausdorff y teoría de la medida geométrica .]

La conclusión (¡literalmente!) es que un matemático no debe confundir "continuidad" con "continuidad de la pluma".

Answer 2

Más concretamente, una función es continua sobre un intervalo si somos capaces de dibujar la función sin levantar el lápiz o el bolígrafo dentro de ese intervalo, en nuestra intuición. Esta función sólo es continua en un punto.

Answer 3

Una función es continua en un punto $a$ si:

$$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$$

Para su función, ( excepto un punto ) no importa el punto que elijas hay números irracionales junto a números racionales por lo que no puedes encontrar tal límite. La excepción es un punto en el que dos condiciones dan el mismo valor, es decir, su intersección. Puesto que, el punto de intersección ( $2-x=x$ ) es $x=1$ , ambas condiciones tienden a ir a $1$ y por encima del límite existe. Por lo tanto, sólo es continua en ese punto.

Answer 4

usuario86418 ha dado algunos ejemplos en los que la continuidad de la pluma difiere de la continuidad. Aquí hay dos distinciones más importantes. Con un bolígrafo, sólo se pueden dibujar curvas que tengan una longitud finita y una derivada acotada; de lo contrario, se necesita tinta infinita y tiempo o velocidad infinitos. Pero hay muchas curvas continuas que tienen una longitud infinita.

Muchos fractales, que son hermosas (al menos para algunos) curvas continuas, tienen una longitud infinita, como el Copo de nieve Koch , Curva de Sierpinski , Curva de Moore y Curva_Takagi .

También hay ejemplos más "sencillos". $\left( x \mapsto x \sin(\frac{}{x^2}) \right)$ es continua pero tiene una longitud infinita en cualquier intervalo que contenga $0$ porque la longitud de arco entre raíces consecutivas $\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ es al menos $\frac{2}{\sqrt{n+1}}$ y $\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{\sqrt{n+1}} = \infty$ . Este ejemplo también tiene una derivada ilimitada, lo que significa que tienes que seguir cambiando de dirección a una velocidad cada vez mayor si quieres terminar de dibujarlo.

Answer 5

No, la matemática no ha fallado. Tú sí.

Dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz es sólo la intuición inicial. Consideremos $f(x)=1/x$ , que es continua.