Como se señala en un comentario $n$ -Los polígonos empiezan a tener ángulos demasiado anchos para formar este tipo de poliedros altamente simétricos. Los ángulos internos de un $n$ -gon son $\frac{n-2}{n}\pi$ ; si tienes, digamos, dos de estos en cada vértice, eso llena $\frac{2n-4}{n}\pi$ . Dado que la suma de todos los ángulos en un vértice debe ser menor que $2\pi$ las demás caras de un vértice deben tener ángulos menores que $\frac 4 n \pi$ . El ángulo más pequeño de un polígono regular es $\frac 1 3 \pi$ para un triángulo, entonces $\frac 4 n > \frac 1 3$ ou $12 > n$ .
Una alternativa es tener sólo un $n$ -gon en cada vértice, y esto siempre es posible: se puede tener un $n$ -gon y dos triángulos, lo que te dará un $n$ -que no es suficientemente simétrica para estas categorías; o una $n$ -gon y tres triángulos, lo que le da un $n$ -antiprisma gonal; o un $n$ -gon y dos cuadrados, lo que te da un $n$ -prisma gonal. Estos prismas y antiprismas son de vértice transitivo y tienen caras regulares, por lo que podrían calificarse como sólidos de Arquímedes, excepto que están excluidos por convención sin ninguna razón real.
He aquí una respuesta:
Poliedros altamente simétricos ("tipo Arquímedes") con $p$ -simetría doble en realidad do por cada $p$ .
Pero si decidimos, por la razón que sea, que los prismas y antiprismas son ciudadanos de segunda clase, ¿por qué no tenemos nada con 7-gons u 11-gons?
Supongamos que un vértice está en 2 heptágonos y un triángulo. Estos poliedros son vértice-transitivo, por lo que cada vértice es el mismo. (Bueno, los sólidos catalanes no lo son, pero son duales de los sólidos arquimedianos, que sí lo son). Una de las tres aristas del vértice está entre dos heptágonos, y las otras dos aristas están entre un heptágono y un triángulo. Consideremos una cara del heptágono en el vértice. Al otro lado de una arista hay otro heptágono. Al otro lado de la siguiente arista hay un triángulo. El vértice al final de esta arista también es incidente a un triángulo y dos heptágonos, por lo que a través de la siguiente arista es un heptágono de nuevo. De este modo, las aristas deben alternar entre heptágono-hepágono y heptágono-triángulo. Pero no se puede alternar entre dos tipos de aristas en un 7-gon.
Exactamente el mismo argumento demuestra que no se puede tener ningún poliedro en el que cada vértice incida en dos $n$ -gonos y uno $r$ -gon donde $n$ es impar y $r \neq n$ .
Por lo tanto, no puede tener dos o más $n$ -en cada vértice de un poliedro de caras regulares si $n =7$ , $n = 11$ o $n \geq 12$ .
No me he ocupado de todos los casos en los que cada vértice es incidente con exactamente un $n$ -gon. Si se piensa en el argumento anterior, sin embargo, también muestra que no se puede tener cada vértice incidente a una $n$ -gon, uno $b$ -gon, y uno $c$ -gon, donde $n$ es impar y $b$ , $c$ y $n$ son todas diferentes. Así que la única posibilidad que realmente queda es tener cada vértice incidente a una $n$ -gon ( $n \in \{7,11\}$ ), dos triángulos y un cuadrado. Pero podemos descartar esto con un argumento similar (hacer dibujos y considerar lo que ocurre alrededor de un triángulo).
Además, no se puede tener ningún poliedro de caras regulares con un vértice 7-valente, ya que el ángulo más pequeño que se puede obtener está en un triángulo, y $7 \cdot \frac 1 3 \pi > 2 \pi$ .
Así que, todo este tipo de cosas te muestra por qué no tienes $n$ -gon caras (o $n$ -vértices valentes) que aparecen en los poliedros de caras regulares con vértices transitivos para grandes $n$ excepto prismas y antiprismas. Una respuesta algo más "profunda" es la siguiente: El grupo de simetría de cualquier poliedro es un grupo Coxeter finito. Estos son todos los grupos Coxeter finitos . Las etiquetas de las aristas indican los órdenes de las rotaciones en el grupo de simetría; las aristas en blanco son de orden 3. Observa que los únicos números que aparecen son 3, 4, 5 y 6. (Y $n$ pero sólo en el diagrama $I_n$ (que es -lo has adivinado- el grupo de simetría de esos feos prismas y antiprismas escalonados).
En cualquier poliedro altamente simétrico, todos esos números que ves en sus descripciones se reflejarán probablemente en el orden de alguna simetría. Y los números primos que mencionas son los únicos que aparecen en grupos Coxeter finitos; cualquier otro número obliga al grupo a ser infinito.
