He estado pensando sobre esto: digamos que tienes una función infinitamente diferenciable. Entonces pueden formar una secuencia $f(x), f'(x), f''(x), \cdots, f^{(n)}(x), \cdots$ e intente tomar su límite. Para algunas funciones es fácil: para $e^x$ el límite será a sí mismo, $\sin x$ y $\cos x$ no tiene un límite, cada polinomio será $0$, etc..
Me preguntaba, ¿tiene este uso? ¿Hay alguna interesante interpretación de la derivada infinita y no existentes o no nos dicen nada acerca de la función?
Si consideramos solamente funciones analíticas....
Supongamos $f(x)$ es analítica en $x=0$. Entonces se puede escribir como una serie de Taylor
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(0) \frac{x^n}{n!} $$
Además, podemos expresar sus derivados
$$ f^{(k)}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n+k)}(0) \frac{x^n}{n!} $$
Si insistimos en que la convergencia de la secuencia de $f^{(k)}$ ser lo suficientemente bonito (yo estoy muy oxidado, pero creo que queremos que el límite para convergen uniformemente), entonces el límite de la secuencia de la serie de Taylor (si existe) puede ser calculada tomando el límite de los coeficientes, cuando :
$$ f^{(\infty)}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \lim_{k\to \infty} f^{(n+k)}(0) \right) \frac{x^n}{n!} $$
De la nota particular es que el límite es completamente independiente de $n$; si definimos
$$a = \lim_{k \to \infty} f^{(k)}(0) $$
entonces, cuando existe, tenemos
$$ f^{(\infty)}(x) = a e^x$$
Esperamos que encuentre este análisis parcial útil.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
