Iterativo ecuación funcional

Question

Encontrar todas las funciones $ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\; $ satisfactorio

$$ f(f(f(n))) + 6f(n) = 3f(f(n)) + 4n + 2001 , \forall n \in\mathbb{N} $$

Después de algún ensayo y error supone la solución de la forma $ f(n) = n + r\;$ que me dio $ f(n) = n + 667\; $ como una solución, pero soy incapaz de llegar a otras soluciones. Chicos ¿cómo solucionaría este problema?

Gracias de antemano.

Answer 1

Dado $n \in \mathbb{N}$, definir $$ g_n(d) = f^{(d)}(n) - 667d. $$ La rutina de cálculo de los rendimientos de la ecuación de recurrencia $$ g_n(d+3) = 3g_n(d+2) - 6g_n(d+1) + 4g_n(d). $$ El polinomio característico es $$ x^3 - 3x^2 + 6x - 4 = (x-1)(x^2-2x+4). $$ Las dos raíces de la $x^2-2x+4$$2e^{\pm i \pi/3}$.

Se desprende de la teoría general de las relaciones de recurrencia que para algunos de los verdaderos $A,B$ y el ángulo de $\theta$, $$g_n(d) = A + B2^d \cos (d\pi/3 + \theta).$$ El coseno es una función periódica en $d$ logro $6$ valores fijos, al menos uno de ellos estrictamente positivo y al menos uno de los estrictamente negativo. En particular, si $B \neq 0$ alguna $e \in \{0,\ldots,5\}$ hemos $$C \triangleq B\cos (e\pi/3 + \theta) < 0.$$ Esto implica que $$f^{(6d+e)}(n) = g_n(6d+e) + 4002d + 667e = A + 2^d C + 4002d + 667e $$ finalmente es negativo. Esto contradice la premisa de que $f \geq 0$, y por lo $B = 0$. Sustituyendo $d = 0$ en la fórmula de la $g_n$, podemos deducir que $g_n(d) = A = n$, por lo que $$ f^{(d)}(n) = n + 667d. $$ En particular, $f(n) = n + 667$.